Las derivadas son la forma de medir la tasa de cambio de una variable. Cuando se trata de funciones y cálculo, las derivadas nos brindan mucha información sobre la forma de la función y su gráfico. Dan información sobre las regiones donde la función es creciente o decreciente. También son útiles para averiguar los valores máximos y mínimos alcanzados por una función. El gráfico de una función, cuando se traza a través de la información recopilada de las derivadas, puede ayudarnos a encontrar el límite y otra información sobre el comportamiento de la función.
Derivados
Una derivada es un punto en la función que nos da la medida de la tasa de cambio de la función en ese punto en particular. Geométricamente hablando, nos dan información sobre la pendiente de la tangente en ese punto. Esta información se puede utilizar para encontrar los intervalos o las regiones donde la función es creciente o decreciente. Una vez que se conocen tales intervalos, no es muy difícil averiguar los valles y colinas en el gráfico de la función. La siguiente figura muestra una función f(x) y sus intervalos donde crece y decrece.
Para una función f(x). Para un intervalo que definí en su dominio.
- Se dice que la función f(x) es creciente en un intervalo I si para todo a < b, f(a) ≤ f(b).
- Se dice que la función f(x) es decreciente en un intervalo I si para todo a < b, f(a) ≥ f(b).
La función se llama estrictamente creciente si para todo a < b, f(a) < f(b). Una definición similar es válida para el caso estrictamente decreciente.
Intervalos crecientes y decrecientes
El objetivo es identificar estas áreas sin mirar el gráfico de la función. Para esto, veamos las derivadas de la función en estas regiones. El hecho de que estas derivadas no son más que la pendiente de las tangentes en esta curva ya está establecido. La siguiente figura muestra las pendientes de las tangentes en diferentes puntos de esta curva.
Observe que en las regiones donde la función es decreciente, la pendiente de la curva es en realidad negativa y positiva para las regiones donde la función es creciente. La pendiente en los picos y valles es cero. Entonces, para decir formalmente.
Digamos que f(x) es una función continua en [a, b] y diferenciable en el intervalo (a, b).
- Si f'(c) > 0 para todo c en (a, b), entonces se dice que f(x) crece en el intervalo.
- Si f'(c) < 0 para todo c en (a, b), entonces se dice que f(x) es decreciente en el intervalo.
- Si f'(c) = 0 para todo c en (a, b), entonces se dice que f(x) es constante en el intervalo.
Puntos críticos
En el diagrama anterior observa cómo cuando la función pasa de decreciente a creciente o de creciente a decreciente. Hay un valle o un pico. Estos valles y picos son puntos extremos de la función y, por lo tanto, se llaman extremos. Es bastante evidente a partir de la figura que en estos puntos la derivada de la función se vuelve cero. La función alcanza sus valores mínimo y máximo en estos puntos.
Nota: una función puede tener cualquier número de puntos críticos. Mientras que todos los puntos críticos no necesariamente dan valor máximo y mínimo de la función. Pero cada punto crítico es un valle que es un punto mínimo en la región local.
En la figura anterior, hay tres extremos, dos de ellos son mínimos, pero solo hay un máximo global y mínimos globales. Entonces, en términos formales,
Para una función f(x), un punto x = c es extremo si,
f'(c) = 0
Identificación de intervalos crecientes y decrecientes
Queda claro a partir de las figuras anteriores que cada extremo de la función es un punto donde su derivada cambia de signo. Esa función va de creciente a decreciente o viceversa. Al buscar regiones donde la función sea creciente o decreciente, se vuelve esencial mirar alrededor de los extremos. Para cualquier función f(x) y un intervalo dado, se deben seguir los siguientes pasos para encontrar estos intervalos:
- Comprueba si la función es diferenciable y continua en el intervalo dado.
- Resuelva la ecuación f'(x) = 0, las soluciones a esta ecuación nos dan extremos.
- Para un punto extremo x = c, busque en la región en la vecindad de ese punto y verifique los signos de las derivadas para encontrar los intervalos donde la función es creciente o decreciente.
Veamos algunos ejemplos de problemas relacionados con estos conceptos.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Para la función dada, di si es creciente o decreciente en la región [-1,1]
f(x) = e x
Solución:
Para analizar cualquier función, el primer paso es buscar los puntos críticos.
f(x) = e x
f'(x) = e x …. (1)
Resolviendo la ecuación f'(x) = 0
e x = 0
No existe un punto crítico para esta función en la región dada. Eso significa que en la región dada, esta función debe ser monótonamente creciente o monótonamente decreciente. Para eso, verifica la derivada de la función en esta región.
f'(x) > 0 en el intervalo [0,1].
Por lo tanto, la función es creciente.
Pregunta 2: Para la función dada, di si es creciente o decreciente en la región [2,4]
f(x) = x2 – x – 4
Solución:
Para analizar cualquier función, el primer paso es buscar los puntos críticos.
f(x) = x2 – x – 4
f'(x) = 2x – 1 …. (1)
Resolviendo la ecuación f'(x) = 0
2x – 1= 0
⇒ x = 0,5
El punto crítico está fuera de la región de interés. Eso significa que en la región dada, esta función debe ser monótonamente creciente o monótonamente decreciente. Para eso, verifica la derivada de la función en esta región.
f'(x) > 0 en el intervalo [2,4].
Por lo tanto, la función es creciente.
Pregunta 3: Encuentra las regiones donde la función dada es creciente o decreciente.
f(x) = 3x + 4
Solución:
Para analizar cualquier función, el primer paso es buscar los puntos críticos.
f(x) = 3x + 4
f'(x) = 3
Esta ecuación no es cero para cualquier x. Eso significa que la derivada de esta función es constante a través de su dominio.
Ya que f'(x) > 0 para todos los valores de x.
La función es monótonamente creciente sobre su dominio.
Pregunta 4: Encuentra las regiones donde la función dada es creciente o decreciente.
f(x) = x2 + 4x + 4
Solución:
Para analizar cualquier función, el primer paso es buscar los puntos críticos.
f(x) = x2 + 4x + 4
f'(x) = 2x + 4 …. (1)
Resolviendo la ecuación f'(x) = 0
2x + 4 = 0
⇒ x = -2
Así, en x =-2 la derivada de esta función cambia de signo. Busque el signo de la derivada en sus inmediaciones.
en x = -1
f'(x) = 2(-1) + 4 = 2 > 0
Esto significa que para x > -2 la función es creciente.
en x = -3
f'(x) = 2(-3) + 4 = -2 < 0
Para x < -2, la función es decreciente.
Pregunta 5: Encuentra las regiones donde la función dada es creciente o decreciente.
f(x) = x2 + 3x
Solución:
Para analizar cualquier función, el primer paso es buscar los puntos críticos.
f(x) = x2 + 3x
f'(x) = 2x + 3 …. (1)
Resolviendo la ecuación f'(x) = 0
2x + 3 = 0
⇒ x = -1.5
Así, en x =-1,5 la derivada de esta función cambia de signo. Busque el signo de la derivada en sus inmediaciones.
en x = -1
f'(x) = 2(-1) + 3 = 1 > 0
Esto significa que para x > -1.5 la función es creciente.
en x = -3
f'(x) = 2(-3) + 3 = -3 < 0
Para x < -1.5, la función es decreciente.
Pregunta 6: Encuentra las regiones donde la función dada es creciente o decreciente.
f(x) = e x + e -x
Solución:
Para analizar cualquier función, el primer paso es buscar los puntos críticos.
f(x) = e x + e -x
f'(x) = e x – e -x …. (1)
Resolviendo la ecuación f'(x) = 0
e x – e -x = 0
⇒ e x = e -x
⇒ mi 2x = 1
⇒ mi 2x = mi 0
Comparando ambos lados de la ecuación,
⇒2x = 0
⇒x = 0
Así, en x = 0 la derivada de esta función cambia de signo. Busque el signo de la derivada en sus inmediaciones.
en x = 1
f'(x) = mi 1 – mi -1 > 0
Esto significa que para x > 0 la función es creciente.
en x = –1
f'(x) = e -1 – e 1 < 0
Para x < 0, la función es decreciente.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA