Una progresión es una sucesión o serie de números en los que están ordenados en un orden particular tal que la relación entre los términos consecutivos de la serie o sucesión es siempre constante. En una progresión, es posible obtener el n -ésimo término de la serie.
En matemáticas, hay 3 tipos de progresiones:
- Progresión aritmética (AP)
- Progresión geométrica (GP)
- Progresión armónica (HP)
La progresión aritmética (AP) , también conocida como secuencia aritmética, es una secuencia o serie de números tales que la diferencia común entre dos números consecutivos en la serie es constante.
Por ejemplo:
Serie 1: 1,3,5,7,9,11….
En esta serie, la diferencia común entre dos números consecutivos siempre es 2.
Serie 2: 28,25,22,19,16,13….
En esta serie, la diferencia común entre dos números consecutivos es estrictamente -3.
Terminología y Representación
- Diferencia común, d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = ……. = un norte – un norte – 1
- a n = n -ésimo término de progresión aritmética
- S n = Suma de los primeros n elementos de la serie
Forma general de un AP
Si se toma a como primer término y d como diferencia común, entonces el N -ésimo término del PA vendrá dado por la fórmula:
Entonces, al calcular los n términos de un AP con la fórmula anterior, la forma general del AP es la siguiente:
Ejemplo: Encuentra el término 35 de la serie 5,11,17,23 …..
Solución:
En la serie dada,
a = 5, d = a 2 – a 1 = 11 – 5 = 6, n = 35
Tenemos que encontrar el término 35 , por lo tanto, aplicar las fórmulas,
un norte = un + ( n – 1)d
un norte = 5 + (35 – 1) x 6
un norte = 5 + 34 x 6
un n = 209
Por lo tanto, 209 es el término 35 .
Suma de n términos de progresión aritmética
La fórmula para la suma de progresión aritmética es,
Derivación de la fórmula
Sea ‘l’ el enésimo término de la serie y S n el sol de los primeros n términos de AP a, (a+d), (a+2d), …., a+(n-1)d entonces,
S norte = un 1 + un 2 + un 3 + ….un n -1 + un norte
S norte = a + (a + d) + (a + 2d) + …….. + (l – 2d) + (l – d) + l …(1)
Escribiendo la serie en orden inverso, obtenemos,
S norte = l + (l – d) + (l – 2d) + …….. + (a + 2d) + (a + d) + a …(2)
Sumando la ecuación (1) y (2),
2S n = (a + l) + (a + l) + (a + l) + …….. + (a + l) + (a + l) + (a + l)
2S n = n(a + l)
S norte = ( n /2)(a + l) …(3)
Por lo tanto, la fórmula para encontrar la suma de una serie es,
dónde,
a es el primer termino
l es el último término de la serie y
n es el número de términos en la serie
Reemplazando el último término l por el enésimo término en la ecuación 3 obtenemos,
n -ésimo término = a + (n – 1)d
S norte = ( n /2)(a + a + (n – 1)d)
Nota: Los términos consecutivos en una progresión aritmética también se pueden representar como,
…….., a-3d , a-2d, ad, a, a+d, a+2d, a+3d, ……..
Ejemplos de problemas sobre progresiones aritméticas
Problema 1. Hallar la suma de los primeros 35 términos de la serie 5,11,17,23…..
Solución:
En la serie dada,
a = 5, d = a 2 – a 1 = 11 – 5 = 6, n = 35
S norte = ( n /2)(2a + (n – 1) xd)
Sn = ( 35/2 )(2 x 5 + (35 – 1) x 6)
Sn = ( 35/2 )(10 + 34 x 6)
Sn = ( 35/2 )(10 + 204)
S n = 35 x 214/2
S n = 3745
Problema 2. Encuentra la suma de la serie cuando el primer término de la serie es 5 y el último de la serie es 209 y el número de términos de la serie es 35.
Solución:
En la serie dada,
a = 5, l = 209, n = 35
S norte = ( n /2)(a + l)
Sn = ( 35/2 )(5 + 209)
S n = 35 x 214/2
S n = 3745
Problema 3. Se reparten 21 rupias entre tres hermanos donde las tres partes del dinero están en AP y la suma de sus cuadrados es 155. Encuentra la mayor cantidad.
Solución:
Sean las tres partes de dinero (ad), a, (a+d), ya que la cantidad distribuida está en AP
Dado que
(a – d) + a + (a + d) = 21
Por lo tanto,
3a = 21
un = 7
De nuevo, (a – d) 2 + a 2 + (a + d) 2 = 155
a 2 + d 2 – 2 ad + a 2 + a 2 + d 2 + 2 ad = 155
3a 2 + 2d 2 = 155
Poniendo el valor de ‘a’ obtenemos,
3(7) 2 + 2d 2 = 155
2d 2 = 155 – 147
re 2 = 4
re = ±2
Las tres partes del dinero distribuido son:
un + re = 7 + 2 = 9
un = 7
una – re = 7 – 2 = 5
Por lo tanto, la mayor parte es Rupias 9