Introducción del teorema de la categoría de Baire

Introducción del teorema de categoría de
Baire: el teorema de categoría de Baire, a menudo conocido como el teorema de Baire y el teorema de categoría, es una conclusión en el análisis y la teoría de conjuntos que dice que la intersección de cualquier colección contable de conjuntos «grandes» permanece «grande» en ciertos espacios. El uso de la palabra “categoría” en el nombre alude a la interacción del teorema con las ideas de conjuntos de primera y segunda categoría.

Para decirlo de otra manera, si un espacio S es un espacio métrico completo o un espacio T2 localmente compacto, entonces la intersección de cualquier colección contable de subconjuntos abiertos densos de S debe ser denso en S.

Prueba.
Suponga que ningún Fk tiene un conjunto abierto no vacío. Entonces, y solo entonces, ningún Fk es igual a E.
Como F1 6= E, F1 es un conjunto abierto no vacío que debe incluir un elemento. El abierto no está incluido en el conjunto F2. B(x1;1/2) bola. Como resultado, el conjunto abierto no vacío F2 B(x1;1/2) contiene una bola abierta.

Usando el principio de definición inductivo , obtenemos una serie de bolas abiertas Bk = B(xk;k) tales que, para todos los números enteros ( k 1, 0 k)

Bk+1 = B(xk;k/2), y Bk Fk = La familia (Fk)kN, en particular, debe ser infinita. (En otras palabras, la demostración es completa en el caso finito). Porque, para nm,

Debido a que hay espacios métricos completos que no son localmente compactos (los números irracionales con la métrica definida a continuación; también, cualquier espacio de Banach de dimensión infinita), y hay espacios de Hausdorff localmente compactos que no son metrizables, ninguna de estas afirmaciones implica la otra. (por ejemplo, cualquier producto incontable de espacios de Hausdorff compactos no triviales es tal; también, varios espacios funcionales utilizados en el análisis funcional; el espacio Fort incontable).

El concepto de contabilidad, como una forma de comparar conjuntos con el conjunto de números naturales, se enseña con frecuencia al principio de los cursos de análisis real de pregrado. Sabemos que los conjuntos contables incluyen el conjunto de los enteros, el conjunto de los enteros impares y el conjunto de los racionales.

Los conjuntos no contables se definen como conjuntos que no son contables, como el conjunto de todos los irracionales. Un conjunto es contable o incontable dependiendo de si tiene una relación de uno a uno con los números naturales.

Por definición, un espacio métrico es un conjunto con una función de distancia. Debido a que no existen otras restricciones en el conjunto, el concepto de categoría puede extenderse a una amplia gama de espacios métricos, incluidos los espacios euclidianos, los espacios de función y los espacios de secuencia.

Stanislaw Mazur, un matemático polaco, propuso el siguiente juego en 1935:

Jugador 1 y Jugador 2 son los nombres de los dos jugadores. Un subconjunto A del intervalo [0, 1] se determina con anticipación y los participantes eligen subintervalos alternativamente. En [0, 1] tal que In+1 In para cada n es mayor que 1. El jugador 1 gana si la intersección de todos los In interseca a A, y el jugador 2 gana si la intersección de todos los In interseca a A.

Esta intersección puede verse forzada a ser disjunta de A
Hay varias formas de enunciar el teorema de la categoría de Baire. Proporcionamos cinco variantes de este teorema y su equivalencia.

1. Cada intervalo [a,b] representa un conjunto de la segunda categoría.
2. R pertenece al segundo grupo.
3. Los subconjuntos residuales de R son todos densos.
4. Hay un interior vacío en toda unión contable de conjuntos cerrados con un interior vacío.
5. Una intersección densa es cualquier intersección contable de conjuntos densos abiertos.

Observación: El teorema de la categoría de Baire es un “hallazgo bastante profundo”, como puede ver, no lo es (la prueba de la equivalencia de los tres conceptos de compacidad fue más difícil).

Pero lo profundo es la simple noción de considerar uniones contables. Montajes gruesos de la nada Esta fue una idea brillante por parte de Baire (y Osgood), y funcionó.

Aplicaciones:
1. Muestre que para cada k, y está en BX(xk, rk/2). (Pista: Para p = 0, y es el límite de (xk+p).
Solución:
Como se vio arriba, y está en BX(xk, rk) y por lo tanto en Uk para cada k.
En otras palabras, y está contenido dentro de G. También vemos que y está en BX(x, r/2) ya que cada xk pertenece a este conjunto cerrado, por lo que y también existe en BX(x, r), esto demuestra lo que queremos demostrar
. El resultado se usa con frecuencia en aplicaciones en el siguiente formato. Sea Xn una secuencia de conjuntos cerrados en un espacio métrico completo (X, d) tal que X = nXn, es decir, X es la unión de los conjuntos Xn. Entonces afirmamos que al menos un interior de Xn no está vacío, lo cual se demuestra por la siguiente paradoja.
Suponga que Xn tiene un interior vacío para cada n. Como resultado, el complemento Un = X Xn$de Xn está abierto.

2. El conjunto es denso. En los reales, el conjunto de todos los racionales Q es denso: En R, sea ab. Luego hay un número lógico en alguna parte (a, b).
Soln.:
Sea ∈ = b -a.
Cuando 1 N ba, elija N tal que N > 1 ba.
Suponga que A = m N : m N es un subconjunto de Q. Afirmamos que A (a, b) 6=. Suponga que lo contrario es cierto. Entonces podemos elegir m1, que es el entero más grande, tal que m1 N a. Si m+1| N > b, entonces m+1| N > b. 
Pero entonces ba m1 + 1 N m1 N = 1 N ba, lo cual es una contradicción. Como resultado, (a, b) Q 6=.

Suponga puntos separados de R en el Lema 1:
La gráfica de pis se cerró luego en R2. Prueba. Si este no es el caso, entonces hay una serie de puntos en R que tienden a x0 como n tal que (3.1) p(xn)y0como n y y06=p (x0). Para cada f Ap,f y f(p) Entonces, para cada f Ap, (3.2) f(p(x0)) = limn f(p(xn)) = limn f(y0). Esto indica que Ap no separa puntos de rand, completando la prueba del lema.

Se reconoce que el teorema de los tipos de omisión en la teoría de modelos y el teorema de la categoría de Baire en la topología están relacionados. Investigamos la relación exacta entre estos dos teoremas. Usando un concepto amplio de lógica, demostramos que el Teorema de Omisión de Tipos tradicional se aplica a una lógica si cierto espacio topológico relacionado tiene todos los subespacios Baire cerrados. También observamos mayores requisitos de categoría de Baire y, por lo tanto, teoremas de tipos de omisión más fuertes, así como una variante del juego. Construimos lógica abstracta utilizando instancias de espacios ya explorados en topología de teoría de conjuntos para mostrar que la afirmación del juego Omitir tipos no es consistentemente igual a la clásica.

Conclusión:
dado un espacio lineal E y una familia contable (Pk) de seminormas en E que satisfacen (b) y (c), podemos topologizar E como un espacio de Frechet de una sola manera.
Por lo tanto, este fue el final de la mera introducción del Teorema de la categoría de Baire. ¡Espero que este artículo te haya ayudado a obtener una idea general de este tema y te haga profundizar en los detalles!