La intersección de dos subgrupos de un grupo es nuevamente un subgrupo

Grupo : 
Es un conjunto equipado con una operación binaria que combina dos elementos cualesquiera para formar un tercer elemento de tal manera que se cumplan tres condiciones llamadas axiomas de grupo, a saber, asociatividad, identidad e invertibilidad.

Subgrupo : 
si un subconjunto no vacío H de un grupo G es en sí mismo un grupo bajo la operación de G, decimos que H es un subgrupo de G.

Para probar:  
Demuestre que la intersección de dos subgrupos de un grupo G es nuevamente un subgrupo de G.

Prueba: 
Sean H ₁  y H ₂ cualesquiera dos subgrupos de G.
Entonces,                 

H1 ∩  H2  ≠  ∅

Dado que al menos el elemento de identidad ‘e’ es común tanto a H ₁ como a H ₂ .
Para probar que H ₁  ∩ H ₂  es un subgrupo, es suficiente probar que

   a ∈ H1 ∩ H2 ,  b ∈ H1 ∩ H2
⇢ a b-1 ∈ H1 ∩ H2

Ahora,

   a ∈ H1 ∩ H2  
⇢ a ∈ H1  and   a ∈ H2
   b ∈ H1 ∩ H2
⇢ b ∈ H1  and   b ∈ H2

Dado que H ₁ y H ₂ son subgrupos.
Por lo tanto,

    a ∈ H1  ,  b ∈ H1
⇢  ab-1 ∈ H1 

y                     

   a ∈ H2 ,  b ∈ H2
⇢ ab-1∈ H2

De este modo,       

   ab-1 ∈ H1    and     ab-1∈ H2
⇢ ab-1 ∈ H1 ∩ H2

Por lo tanto, H1 ∩ H2 es un subgrupo de G y ese es nuestro teorema, es decir, la intersección de dos subgrupos de un grupo es nuevamente un subgrupo.