LCM y HCF – Barcelona Geeks

Factores y Múltiplos: Todos los números que dividen un número por completo, es decir, sin dejar resto, se llaman factores de ese número. Por ejemplo, 24 es completamente divisible por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Cada uno de estos números se llama factor de 24 y 24 se llama múltiplo de cada uno de estos números.
MCM: El menor número que es exactamente divisible por cada uno de los números dados se llama el mínimo común múltiplo de esos números. Por ejemplo, considere los números 3, 31 y 62 (2 x 31). El MCM de estos números sería 2 x 3 x 31 = 186.
Para encontrar el MCM de los números dados, expresamos cada número como un producto de números primos. El producto mayor potencia de los números primos que aparecen en la descomposición en factores primos de cualquiera de los números nos da el MCM.
Por ejemplo, considere los números 2, 3, 4 (2 x 2), 5, 6 (2 x 3). El MCM de estos números es 2 x 2 x 3 x 5 = 60. La potencia más alta de 2 proviene de la descomposición en factores primos de 4, la potencia más alta de 3 proviene de la descomposición en factores primos de 3 y la descomposición en factores primos de 6 y la potencia más alta de 5 proviene de la descomposición en factores primos de 5.
HCF: El mayor número que divide a dos o más números es el factor común más alto (HCF) para esos números. Por ejemplo, considere los números 30 (2 x 3 x 5), 36 (2 x 2 x 3 x 3), 42 (2 x 3 x 7), 45 (3 x 3 x 5). 3 es el número más grande que divide a cada uno de estos números y, por lo tanto, es el HCF para estos números.
HCF también se conoce como máximo común divisor (GCD).

Para encontrar el HCF de dos o más números, exprese cada número como producto de números primos. El producto de las mínimas potencias de los términos primos comunes nos da el HCF. Este es el método que ilustramos en el paso anterior.
Además, para encontrar el HCF de dos números, también podemos proceder por el método de división larga. Dividimos el número mayor por el número menor (divisor). Ahora, dividimos el divisor por el resto obtenido en la etapa anterior. Repetimos el mismo procedimiento hasta obtener cero como resto. En esa etapa, el último divisor sería el HCF requerido.
Por ejemplo, encontramos el HCF de 30 y 42.
Para dos números ‘a’ y ‘b’, MCM x HCF = axb
HCF de coprimos = 1
Para dos fracciones,
HCF = HCF (Numeradores) / MCM (Denominadores)
MCM = MCM (Numeradores) / HCF (Denominadores)
Un número natural, mayor que 1, siempre se puede escribir como la suma del máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) de dos números naturales, es decir,
x=mcd(a,b)+lcm(a,b) .
Demostrémoslo. Sea x cualquier número natural, mayor que 1, y a y b también son dos números naturales (mayores o iguales a 1).

Tomemos
a=x-1 y b=1

ahora encontramos mcm de a y b ,
mcm(a,b)=a —-1

que es simplemente a porque mcm de cualquier número natural con 1 es el número mismo.
ahora encontramos el mcd de a y b
mcd(a,b)=1 —-2
ya que el mcd de cualquier número natural con 1 es 1 ya que 1 es el máximo común divisor de ambos números.

sumando la ecuación 1 y 2 obtenemos
mcm(a,b)+mcd(a,b)=a+1

poner valores de a y b
lcm(a,b)+mcd(a,b)=x-1+1
lcm(a,b)+mcd(a,b)=x

Problemas de muestra

Pregunta 1: Dos números están en la proporción de 5:11. Si su HCF es 7, encuentre los números.
Solución: Sean los números 5m y 11m. Dado que 5:11 ya es la relación reducida, ‘m’ tiene que ser el HCF. Entonces, los números son 5 x 7 = 35 y 11 x 7 = 77.

Pregunta 2: Encuentra la longitud de la tabla que se puede usar para medir exactamente las longitudes 4 m 50 cm, 9 m 90 cm y 16 m 20 cm en el menor tiempo.
Solución: primero convertimos cada longitud a cm. Entonces, las longitudes son 450 cm, 990 cm y 1620 cm. Ahora, necesitamos encontrar la longitud de la tabla más grande que se puede usar para medir estas longitudes, ya que la tabla más grande tomará menos tiempo. Para esto, necesitamos tomar el HCF de 450, 990 y 1620.
450 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 2 x 3 ² x 5²
990 = 2 x 3 x 3 x 5 x 11 = 2 x 3 ² x 5 x 11
1620 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 5 = 2 ² x 3 ⁴ x 5
Por lo tanto, HCF (450, 990, 1620) = 2 x 3 x 3 x 5 = 90
Por lo tanto, necesitamos una tabla de 90 cm de longitud para medir las longitudes dadas en el menor tiempo.

Pregunta 3 : Encuentra el mayor número que al dividir 70 y 50 deje residuos 1 y 4 respectivamente.
Solución: El número buscado deja residuos 1 y 4 al dividir 70 y 50 respectivamente. Esto significa que el número divide exactamente a 69 y 46.
Entonces, necesitamos encontrar el HCF de 69 (3 x 23) y 46 (2 x 23).
HCF (69, 46) = 23
Por lo tanto, 23 es el número requerido.

Pregunta 4:Encuentra el mayor número que divide a 64, 136 y 238 para dejar el mismo resto en cada caso.
Solución: Para encontrar el número requerido, necesitamos encontrar el HCF de (136-64), (238-136) y (238-64), es decir, HCF (72, 102, 174).
72 = 2 ³ x 3 ²
102 = 2 x 3 x 17
174 = 2 x 3 x 29
Por lo tanto, HCF (72, 102, 174) = 2 x 3 = 6
por lo tanto, 6 es el número requerido.

Pregunta 5: Encuentra el menor número que al dividirlo por 5, 7, 9 y 12, deja el mismo resto 3 en cada caso
Solución: En este tipo de preguntas, necesitamos encontrar el MCM de los divisores y sumar el resto común ( 3) a ello.
Entonces, MCM (5, 7, 9, 12) = 1260
Por lo tanto, número requerido = 1260 + 3 = 1263

Pregunta 6: Encuentra el mayor número de cuatro dígitos exactamente divisible por 15, 21 y 28.
Solución: El mayor número de cuatro dígitos es 9999.
Ahora, MCM (15, 21, 28) = 420
Al dividir 9999 entre 420, obtenemos 339 como el resto.
Por lo tanto, el número requerido es 9999-339 = 9660

Pregunta 7: Los policías en tres lugares diferentes en el suelo tocan un silbato cada 42 segundos, 60 segundos y 78 segundos respectivamente. Si todos tocan el silbato simultáneamente a las 9:30:00 horas, ¿a qué hora vuelven a silbar juntos?
Solución: Todos volverán a silbar al mismo tiempo después de un intervalo que sea igual al MCM de sus ciclos individuales de denuncia de silbatos.
Entonces, MCM (42, 60, 78) = 2 x 3 x 7 x 10 x 13 = 5460
Por lo tanto, volverán a hacer sonar el silbato simultáneamente después de 5460 seg, es decir, después de 1 hora 31 minutos, es decir, a las 11:01:00 horas.

Pregunta 8: Encuentra el menor número que cuando se divide por 6, 7, 8 deja un resto 3, pero cuando se divide por 9 no deja resto.
Solución: MCM (6, 7, 8) = 168
Entonces, el número es de la forma 168m + 3.
Ahora, 168m + 3 debe ser divisible por 9.
Sabemos que un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.
Para m = 1, el número es 168 + 3 = 171, la suma de cuyos dígitos es 9.
Por lo tanto, el número requerido es 171.

Pregunta 9: Dos números están en la proporción 2:3. Si el producto de su MCM y HCF es 294, encuentra los números.
Solución :Sea la razón común ‘m’. Entonces, los números son 2m y 3m.
Ahora, sabemos que Producto de números = Producto de MCM y HCF.
=> 2m x 3m = 294
=> m ² = 49
=> m = 7
Por lo tanto, los números son 14 y 21.

Pregunta 10: Un campo rectangular de dimensiones 180m x 105m se pavimentará con baldosas cuadradas idénticas. Encuentre el tamaño de cada mosaico y el número de mosaicos necesarios.
Solución: Necesitamos encontrar el tamaño de una loseta cuadrada tal que una cantidad de losetas cubran exactamente el campo, sin dejar ningún área sin pavimentar.
Para ello encontramos el HCF del largo y ancho del campo.
HCF (180, 105) = 15
Por lo tanto, tamaño de cada mosaico = 15m x 15m
Además, número de mosaicos = área del campo / área de cada mosaico
=> Número de mosaicos = (180 x 105) / (15 x 15)
=> Número de mosaicos = 84
Por lo tanto, necesitamos 84 mosaicos, cada uno de tamaño 15m x 15 m.

Pregunta 11: Tres campos rectangulares que tienen un área de 60 m ² , 84 m ² y 108 m ² deben dividirse en macizos de flores rectangulares idénticos, cada uno con una longitud de 6 m. Encuentra el ancho de cada cama de flores.
Solución: necesitamos dividir cada campo grande en macizos de flores más pequeños de modo que el área de cada macizo sea la misma.
Entonces, encontramos el HCF de los campos más grandes que nos da el área del campo más pequeño.
HCF (60, 84, 108) = 12
Ahora, este HCF es el área (en m ²) de cada macizo de flores.
Además, el área de un campo rectangular = Largo x Ancho
=> 12 = 6 x Ancho
=> Ancho = 2 m
Por lo tanto, cada macizo de flores tendría 2 m de ancho.

Pregunta 12: Encuentre la cantidad máxima de estudiantes entre los cuales se pueden distribuir 182 chocolates y 247 dulces de manera que cada estudiante reciba la misma cantidad de cada uno. Además, encuentre la cantidad de chocolates y dulces que recibirá cada estudiante.
Solución: Necesitamos encontrar el HCF de la cantidad de chocolates y dulces disponibles, lo que nos daría la cantidad de estudiantes.
HCF (182, 247) = 13
Entonces, puede haber 13 estudiantes.
Además, Número de chocolates para cada alumno = 182 / 13 = 14
Número de caramelos para cada alumno = 247 / 13 = 19

Problema en HCF y LCM | Conjunto-2

Programa en LCM

Programa sobre HCF

Cuestionario sobre LCM

Cuestionario sobre HCF

Este artículo ha sido contribuido por Nishant Arora

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