Ley de Stoke

¿Te has preguntado alguna vez que las gotas de lluvia que caen desde las alturas no dañan a las personas por la fuerza de la gravedad? La ley de Stoke explica por qué esto es así. Este es un ejemplo fascinante de una fuerza retardadora que es proporcional a la velocidad. George Gabriel Stokes desarrolló una ecuación para la fuerza de fricción, también conocida como fuerza de arrastre, en 1851. La Ley de Stokes, llamada así por el científico George Gabriel Stokes, describe la relación entre la fuerza de fricción de una esfera que se mueve en un líquido y otras cantidades ( como el radio de la partícula y la velocidad de la partícula). Si una esfera o un cuerpo se mueve a través de un fluido, se debe vencer una fuerza de fricción. En este artículo, veamos qué es la ley de Stoke y su derivación.

Ley de Stoke

La Ley de Stoke es una ecuación que expresa las velocidades de sedimentación de pequeñas partículas esféricas en un medio fluido. La ley se establece teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre una determinada partícula cuando cae a través de una columna de líquido bajo la influencia de la gravedad. 

La fuerza que retarda el paso de una esfera a través de un fluido viscoso es directamente proporcional a la velocidad, el radio y la viscosidad del fluido de la esfera. Sir George G. Stokes, un físico inglés, declaró la fuerza de arrastre viscosa F como:

F = 6 × πηrv

donde F es la fuerza de fricción, η es la viscosidad del líquido, r es el radio y v es la velocidad del flujo.

La ley de Stokes, en un resumen, analiza la fuerza activa aplicada a un cuerpo cuando se deja caer en una sustancia. Debido al impacto de baja viscosidad, la velocidad del cuerpo que cae inicialmente se mantiene baja. Sin embargo, cuando el cuerpo esférico se hunde con su peso efectivo, alcanza una aceleración y la velocidad del cuerpo aumenta constantemente. 

La fuerza que retarda el paso de una esfera a través de un fluido viscoso es directamente proporcional a la velocidad, el radio y la viscosidad del fluido de la esfera. Sir George G. Stokes, un físico inglés, declaró que la fuerza de arrastre viscosa F como ley de Stokes tiene aplicaciones en muchos campos, incluido el asentamiento de sedimentos en agua dulce y la determinación de la viscosidad de los fluidos. 

En este caso, la fuerza neta sobre el cuerpo es cero y alcanza una velocidad fija conocida como velocidad terminal. Esta definición ayudó en la formulación de la ley de Stokes, y esta derivación de la fuerza de fricción o arrastre de Stokes se aplica en el límite entre el cuerpo y el fluido. Sir George Stokes dijo que «la fuerza que actúa entre el líquido y la interfaz del cuerpo que cae es proporcional a la velocidad, el radio del objeto esférico y la viscosidad del fluido».

Importancia de la Ley de Stoke

Los siguientes son la importancia de la Ley de Stoke:

• Millikan emplea esta regla en su experimento de la gota de aceite para determinar la carga electrónica.
• Esta ley protege a una persona que está cayendo desde una gran altura usando un paracaídas.
• La formación de nubes se explica por esta regla.

Derivación de la ley de Stoke

La fuerza viscosa que actúa sobre una esfera es directamente proporcional a los siguientes factores:

1. Coeficiente de viscosidad (η).
2. El radio de la esfera (r).
3. La velocidad del objeto (v).

Matemáticamente, esto se puede escribir como:

F ∝ η ^un r ^segundo v ^do

Aquí, las potencias a, byc son algunas incógnitas.

Por lo tanto, determinemos estos a, b y c sustituyendo el signo de proporcionalidad con un signo de igualdad como:

F = k η ^un r ^segundo v ^c                                                                                                                                                                                                          ……(1)

donde, k es la constante de proporcionalidad.

Ahora, escribiendo las dimensiones de los parámetros a ambos lados de la ecuación (1):

[MLT ^–2 ] = [ML ^–1 T ^–1 ] ^a [L] ^b [LT ^-1 ] ^c

Simplificando la ecuación anterior:

[MLT ^–2 ] = [M ^a ⋅ L ^–a+b+c ⋅ T ^–a–c ]                                                                                                                                                                            ……(2)

Según la mecánica clásica, la masa, la longitud y el tiempo son entidades independientes.

Igualando los superíndices de masa, longitud y tiempo respectivamente de la ecuación (2), obtenemos

⇒ a = 1                                                                                                                                                                                                                 ……(3)

–a + b + c = 1 ……(4)

–a –c = 2 

o 

a + c = 2 ……(5)

Sustituyendo (3) en (5), obtenemos

1 + c = 2

⇒  c = 1                                                                                                                                                                                                                 ……(6)

Sustituyendo el valor de (3) y (6) en (4), obtenemos

–1 + segundo + 1 = 1

⇒  b = 1                                                                                                                                                                                                                ……(7)

Sustituyendo el valor de (3), (6) y (7) en (1), obtenemos

F = k η rv

El valor de k para un cuerpo esférico se obtuvo experimentalmente como 6π. Por lo tanto, la fuerza viscosa sobre un cuerpo esférico que cae a través de un líquido está dada por la ecuación:

F = 6 π η rv

Por lo tanto, esta es la relación requerida de la Ley de Stoke.

Limitaciones de la Ley de Stoke

1. Diferencia de densidad negativa en la ecuación de Stoke: La ecuación de Stokes no es válida si la diferencia de densidad en la ecuación es negativa, es decir, cuando las partículas son más ligeras que el medio de dispersión. Esto da como resultado la flotación o la formación de crema que se observa más comúnmente en los sistemas de emulsión.
2. Alto contenido de sólidos dispersos: Cuando el contenido de sólidos de una suspensión es alto, la ecuación de Stokes puede no mostrar la tasa de sedimentación real. El alto contenido de sólidos imparte viscosidad adicional al sistema, lo que debe tenerse en cuenta si se va a determinar la tasa correcta de sedimentación. La ecuación contiene sólo la viscosidad del medio.
3. Constante dieléctrica: La constante dieléctrica, que no se usa en la ecuación de Stokes, es un parámetro importante en muchos contextos. El potencial eléctrico entre dos cargas es inversamente proporcional a la constante dieléctrica del medio. Como resultado, el potencial zeta se ve afectado por la constante dieléctrica del medio. La suposición es que si un automóvil tiene una constante dieléctrica baja, la doble capa es varias veces más gruesa que en un medio acuoso, dando como resultado un potencial zeta diferente y, por lo tanto, una configuración diferente. Estas consideraciones son fundamentales para el uso de vehículos no acuosos como el aceite de sésamo, el aceite de maíz y el propulsor de clorofluorocarbono (en suspensión de aerosol).
4. Movimiento browniano: otro aspecto que puede afectar la precisión de los resultados de la ecuación de Stokes es el movimiento browniano, que es un movimiento espontáneo (en zigzag) de partículas que flotan en un fluido causado por colisiones con átomos o moléculas que se mueven rápidamente en el gas o líquido. La sedimentación es mitigada hasta cierto punto por la migración browniana. Esto da como resultado una diferencia significativa entre la tasa real de sedimentación y la tasa medida utilizando la ecuación de Stokes.

Las condiciones bajo las cuales la ley de Stoke es válida son:

• El fluido a través del cual se mueve el cuerpo debe tener una extensión infinita.                            
• El cuerpo es perfectamente rígido y liso.                                                                            
• No hay deslizamiento entre el cuerpo y el fluido. El movimiento del cuerpo no da lugar a un movimiento turbulento. Por lo tanto, el movimiento es aerodinámico.
• El tamaño del cuerpo es pequeño, pero es mayor que la distancia entre las moléculas del líquido. Así, el medio es homogéneo y continuo para tal cuerpo.

Aplicaciones de la Ley de Stoke : –            

• Velocidad de las gotas de lluvia: las gotas de lluvia no alcanzan velocidades extremadamente altas durante su caída libre. Si esto no ocurre, una persona que camine bajo la lluvia resultará lesionada. Esto se debe a que el arrastre viscoso en el aire se opone a la velocidad de las gotas de lluvia a medida que descienden debido a la gravedad. La gota alcanza una velocidad terminal cuando la fuerza viscosa es igual a la fuerza de la gravedad. Como resultado, las gotas de lluvia que llegan a la tierra tienen una energía cinética baja.
• Paracaídas: Cuando saltamos de un avión, un paracaídas nos ayuda a aterrizar con seguridad en el suelo. Porque en este caso, la persona cae con una aceleración g debido a la gravedad, pero la aceleración disminuye debido al arrastre viscoso del aire hasta que la persona alcanza la velocidad terminal. Luego, la persona cae a una velocidad constante y abre su paracaídas cerca del suelo en un período predeterminado, lo que le permite aterrizar de manera segura cerca de su destino.
• Se utiliza para calcular la carga de un electrón. (El método de la gota de aceite de Millikan)

Velocidad terminal

Cuando un cuerpo cae a través de un fluido viscoso, se produce un movimiento relativo entre sus diferentes capas. Como resultado, el cuerpo experimenta una fuerza viscosa que tiende a retardar su movimiento. A medida que aumenta la velocidad del cuerpo, la fuerza viscosa (F = 6 π η rv) también aumenta. Se alcanza una etapa en la que el peso del cuerpo se vuelve exactamente igual a la suma del empuje hacia arriba y la fuerza viscosa. Entonces ninguna fuerza neta actúa sobre el cuerpo y comienza a moverse con una velocidad constante. Entonces, aquí viene el concepto de Velocidad Terminal.

La máxima velocidad constante que adquiere un cuerpo al caer a través de un medio viscoso se denomina Velocidad Terminal. 

A medida que aumenta la velocidad de un objeto, también lo hace la fuerza de arrastre que actúa sobre él, que también depende de la sustancia por la que pasa (por ejemplo, aire o agua). A cierta velocidad, el arrastre o fuerza de resistencia será igual al tirón gravitatorio sobre el objeto (la flotabilidad se considera a continuación). En este punto, el objeto deja de acelerar y continúa cayendo a una velocidad constante llamada velocidad terminal (también llamada velocidad de asentamiento).

La fórmula para la velocidad terminal (v _t ) es,

v _t = 2a ² × (ρ−σ)g / 9η

donde ρ y σ son las densidades de masa de la esfera y el fluido, respectivamente.

Problemas de muestra

Problema 1: Una gota de lluvia de 0,3 mm de radio cae por el aire con una velocidad terminal de 1 m/s. La viscosidad del aire es 18 × 10 ^-5 Poise. Encuentre la fuerza viscosa sobre la gota de lluvia.

Solución:

Dado que, 

El radio de la gota de lluvia, r = 0,3 mm = 0,03 cm.

La velocidad terminal, v = 1 m/s =100 cm/s.

La viscosidad del aire, η = 18 × 10 ^-5 Poise.

Según la ley de Stokes, la fuerza de la viscosidad sobre la gota de lluvia es 

F = 6π ηrv

  = 6 × 3,142 × 18 × 10 ^-5 Poise × 0,03 cm × 100 cm/s

  = 1.018 × 10 ^-2 dina

Problema 2: Considere que un objeto esférico fluye a través del agua. La velocidad del cuerpo en algún instante es de 4 m/s. Encuentre la fuerza de arrastre sobre el objeto debido al fluido. Suponga que la ley de Stokes es válida. (Dado: viscosidad del agua = 0,001 Kg m ⁻¹ s ⁻¹ , radio del objeto esférico = 4 mm).

Solución:

Según la fórmula, la fuerza de arrastre sobre un objeto es,  

F = 6π ηrv

Poniendo los valores dados en la expresión anterior,

F = 6 × 3,14 × 0,001 kg m ⁻¹ s ⁻¹ × 4 × 10 ⁻³ m × 4 m/s

   = 3,014 × 10 ^-4 N

Problema 3: La velocidad del agua en una corriente de agua es de 18 km/h cerca de la superficie. Si la corriente tiene 10 m de profundidad, determine el esfuerzo cortante entre la capa superficial y la capa inferior (coeficiente de viscosidad del agua, η=10 ⁻³ Pa s).

Solución:

Como la velocidad del agua en el fondo del río es 0 m/s,

Por lo tanto, dv = 18 km/h = (18 × 5/18) m/s = 5 m/s  

Además, dx = 10 m y η=10 ⁻³ Pa s

La fuerza de la viscosidad, F = η A (dv/dx)

Por lo tanto, el esfuerzo cortante = F / A = η (dv/dx)

                                               = 10 ⁻³ Pa s × (5 m/s / 10 m)

                                               = 5 × 10 ⁻² N m ^-2

Problema 4: ¿Cuál será la fuerza neta sobre la gota de agua de radio r que cae a través del aire de coeficiente de viscosidad η con una velocidad constante de v?

Solución:

Cuando una gota cae a una velocidad constante, la fuerza viscosa se equilibra con su peso. 

Por lo tanto, la fuerza resultante es cero .

Problema 5: ¿Cómo se llama la velocidad de una gota de lluvia y por qué?

Solución:

Una gota de lluvia cae con una velocidad llamada velocidad terminal. Debido a la viscosidad del aire, las gotas de lluvia caen con velocidad terminal. La velocidad terminal es la velocidad de un objeto cuando su fuerza neta es cero. En el caso de las gotas de lluvia, la masa de la gota actúa hacia abajo mientras que la fuerza viscosa del aire actúa hacia arriba.