Probablemente hayas visto un conjunto de líneas de tren, una escalera o un juego de teclas de piano. ¿Hay algo que alguno de estos tenga en común? Los dos rieles nunca se cruzan y los dos lados de la escalera nunca se encuentran. Las teclas del piano están paralelas entre sí en todo momento. Echemos un vistazo más de cerca a las líneas paralelas y transversales, así como a los ángulos a los que corresponden.
Líneas paralelas: La combinación de dos o más líneas que se estiran hasta el infinito y nunca se cruzan entre sí se denominan líneas paralelas o líneas coplanares . Las líneas paralelas se denotan con un símbolo especial, dado por || .
Transversal: Una transversal de cualquier línea dada es una línea que se cruza con dos o más líneas dadas en puntos distintos.
Ángulos correspondientes: Los ángulos formados cuando una transversal se corta con cualquier par de rectas paralelas se denominan ángulos correspondientes.
La siguiente figura muestra líneas paralelas y transversales junto con los ángulos correspondientes formados por ellas como:
rectas paralelas y una transversal
Considere una línea l que se cruza con las líneas m y n en los puntos P y Q respectivamente. Por lo tanto, la recta l es transversal a las rectas m y n donde se obtienen ocho ángulos diferentes. Los ocho ángulos juntos forman cuatro pares de ángulos correspondientes . Como se observa en la siguiente figura, ∠2 y ∠6 constituyen un par de ángulos correspondientes. Todos los ángulos que tienen la misma posición con respecto a las rectas ya la transversal son la pareja de ángulos correspondientes .
Además, los ángulos que están en el área entre las líneas, por ejemplo, ∠4 y ∠5, se llaman ángulos interiores, mientras que los ángulos que están en el lado exterior de las dos líneas, por ejemplo, ∠1 y ∠8, se llaman ángulos exteriores . Los ángulos que están en los lados opuestos de la transversal se llaman ángulos alternos, por ejemplo, ∠4 y ∠6. Los ángulos que comparten el mismo vértice y tienen un rayo común, por ejemplo, los ángulos ∠1 y ∠2 o ∠6 y ∠5 en la figura, se denominan ángulos adyacentes . En este caso donde los ángulos adyacentes están formados por dos rectas que se cortan se obtienen dos pares de ángulos adyacentes que son suplementarios. Los dos ángulos que son opuestos entre sí como ∠1 y ∠3 en la figura se llaman ángulos verticales .
Ángulos formados por rectas paralelas y una transversal
Por lo tanto, el par de ángulos correspondientes, ángulos alternos interiores, ángulos alternos exteriores, ángulos interiores del mismo lado de la transversal son los siguientes:
- Ángulos correspondientes: ∠ 1 y ∠ 5, ∠ 2 y ∠ 6, ∠ 4 y ∠ 8 y ∠ 3 y ∠ 7.
- Ángulos interiores alternos: ∠ 4 y ∠ 6, y ∠ 3 y ∠ 5.
- Ángulos exteriores alternos: ∠ 1 y ∠ 7, y ∠ 2 y ∠ 8.
- Ángulos interiores del mismo lado de la transversal: ∠ 4 y ∠ 5, y ∠ 3 y ∠ 6.
Axioma de los ángulos correspondientes
Averigüemos la relación entre los ángulos en estos pares cuando la línea m es paralela a la línea n.
Par de ángulos correspondientes.
Por lo tanto, el axioma de los ángulos correspondientes se establece como:
Si una transversal interseca dos rectas paralelas, de modo que un par de ángulos correspondientes son iguales, entonces las dos rectas son paralelas entre sí.
Para probar: los ángulos correspondientes son iguales.
Prueba: La línea m y n son paralelas entre sí y la línea l es transversal.
Dado que la línea m y n son paralelas.
Por lo tanto,
∠ 3 + ∠ 6 = 180° (Ángulo adyacente del paralelogramo) ……(1)
∠ 7 + ∠ 6 = 180° (Ángulos suplementarios) ……(2)
∠ 3 + ∠ 2 = 180° (Ángulo suplementario) ……(3)
Entonces, de la ecuación (1) y (2) se concluye que:
∠ 3 = ∠ 7
De manera similar, de (1) y (3) se concluye que:
∠ 6 = ∠ 2
De esta forma, también se puede demostrar que:
∠ 1 = ∠ 5
∠ 4 = ∠ 8
Esto implica que los cuatro pares de ángulos correspondientes son iguales entre sí.
Recíproco del axioma de los ángulos correspondientes
El recíproco del axioma de los ángulos correspondientes se establece como:
Si una transversal interseca a dos rectas de manera que un par de ángulos correspondientes son iguales, entonces las dos rectas son paralelas entre sí.
Par de ángulos correspondientes.
Para probar: si los ángulos correspondientes son iguales, entonces las líneas son paralelas.
Prueba: La línea l es transversal a las líneas m y n.
Por lo tanto,
∠ 3 = ∠ 7 (Dados, los ángulos correspondientes son iguales) ……(1)
∠ 7 + ∠ 6 = 180° (Ángulo suplementario) ……(2)
Entonces, de la ecuación (1) y (2) se concluye que:
∠ 3 + ∠ 6 = 180°
Como, la suma de los ángulos adyacentes es suplementaria.
Por lo tanto, las rectas son paralelas.
Axioma de ángulos alternos
El axioma de los ángulos alternos se establece como:
Si una transversal interseca a dos rectas paralelas, entonces cada par de ángulos alternos internos es igual.
Par de ángulos alternos.
Demostrar: Los ángulos alternos interiores son iguales.
Prueba: La línea m y n son paralelas entre sí y la línea l es transversal.
∠ 3 = ∠ 7 (Axioma de los ángulos correspondientes) ……(1)
∠ 7 = ∠ 5 (Ángulos verticalmente opuestos) ……(2)
Entonces, de la ecuación (1) y (2) se concluye que:
∠ 3 = ∠ 5
De manera similar, se puede escribir como:
∠ 4 = ∠ 6
Por lo tanto, los ángulos interiores alternos son iguales.
Recíproco del axioma de los ángulos alternos
El recíproco del axioma de los ángulos alternos se establece como:
Si una transversal interseca a dos rectas de manera que un par de ángulos interiores alternos son iguales, entonces las dos rectas son paralelas.
Par de ángulos alternos.
Para probar: si los ángulos internos alternos son iguales, entonces dos líneas son paralelas.
Prueba: La línea m y n son paralelas entre sí y la línea l es transversal.
Por lo tanto,
∠ 3 = ∠ 5 (Ángulos interiores alternos) …….(1)
∠ 7 = ∠ 5 (Ángulos verticalmente opuestos) …….(2)
Entonces, de la ecuación (1) y (2) se concluye que:
∠ 3 = ∠ 7
De acuerdo con el axioma del recíproco de los ángulos correspondientes: si una transversal corta dos rectas de tal manera que un par de ángulos correspondientes son iguales, entonces las dos rectas son paralelas entre sí.
Por lo tanto, las dos rectas son paralelas.
Propiedad de los ángulos interiores del mismo lado de la transversal
La propiedad de los ángulos interiores se expresa como:
Si una transversal corta dos rectas paralelas, entonces cada par de ángulos interiores del mismo lado de la transversal es suplementario.
Par de ángulos interiores
Para probar: si una transversal corta dos rectas paralelas, entonces cada par de ángulos interiores del mismo lado de la transversal es suplementario.
Prueba: La línea m y n son paralelas entre sí y la línea l es transversal.
Por lo tanto,
∠ 3 = ∠ 7 (Axioma de los ángulos correspondientes) ……(1)
∠ 6 + ∠ 7 = 180° (Ángulo suplementario) ……(2)
Entonces, de la ecuación (1) y (2) se concluye que:
∠ 6 + ∠ 3 = 180°
Por tanto, cada par de ángulos interiores del mismo lado de la transversal es suplementario.
Recíproco de la propiedad de los ángulos interiores del mismo lado de la transversal
El recíproco de la propiedad de los ángulos interiores se expresa como:
Si una transversal interseca dos rectas de manera que un par de ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las dos rectas son paralelas.
Par de ángulos interiores.
Demostrar: Si una transversal interseca dos rectas de manera que un par de ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las dos rectas son paralelas.
Prueba: Un par de ángulos interiores del mismo lado de la transversal es suplementario.
∠ 6 + ∠ 3 = 180° (Dado, la suma del par de ángulos interiores es suplementaria) ……(1)
∠ 6 + ∠ 7 = 180° (Ángulo suplementario) ……(2)
Entonces, de la ecuación (1) y (2) se concluye que:
∠ 7 = ∠ 3
Por lo tanto, dos rectas son paralelas.
Líneas paralelas a la misma línea
El teorema de las rectas paralelas a la misma recta se expresa como:
Las rectas que son paralelas a la misma recta son paralelas entre sí.
Líneas paralelas a la misma línea.
Demostrar: Las rectas que son paralelas a la misma recta son paralelas entre sí (p || q || r).
Prueba: La línea p y r son paralelas y las líneas p y q son paralelas entre sí y la línea l es transversal.
Ahora, p || q y p || r
Desde m || q por lo tanto,
∠ 1 = ∠ 2 (Axioma de los ángulos correspondientes) ……(1)
∠ 1 = ∠ 3 (Axioma de los ángulos correspondientes) ……(2)
Entonces, de la ecuación (1) y (2) se concluye que:
∠ 2 = ∠ 3
Sin embargo, de acuerdo con el axioma de la inversa de los ángulos correspondientes, si una transversal corta dos líneas de tal manera que un par de ángulos correspondientes son iguales, entonces las dos líneas son paralelas entre sí.
Por tanto, las dos rectas q y r son paralelas y, por tanto, paralelas a r.
Problemas de muestra
Problema 1: En la figura, si PQ || RS, ∠ MXQ = 135° y ∠ MYR = 40°, encuentre ∠ XMY.
Solución:
Construyamos una línea AB paralela a la línea PQ, a través del punto M.
Ahora, AB || PQ y PQ || RS
⇒ AB || RS || PQ (Teorema 5)
∠ QXM + ∠ XMB = 180° (AB || PQ, Ángulos interiores del mismo lado de la transversal XM)
Como, ∠ QXM = 135°
135° + ∠ XMB = 180°
∠ XMB = 45°
Ahora, ∠ BMY = ∠ MYR (AB || RS, Ángulos alternos)
∠ BMY = 40°
Como, ∠ XMB + ∠ BMY = 45° + 40°
Por lo tanto, ∠XMY = 85° .
Problema 2: Si una transversal interseca a dos rectas de manera que las bisectrices de un par de ángulos correspondientes son paralelas, entonces demuestra que las dos rectas son paralelas.
Solución:
Sea una transversal AD que corta a dos rectas PQ y RS en los puntos B y C respectivamente. El rayo BE es la bisectriz de ∠ ABQ y el rayo CG es el bisector de ∠ BCS y BE || CG.
Para probar: PQ || RS.
Dado que, el rayo BE es la bisectriz de ∠ ABQ.
Por tanto, ∠ ABE = ½ ∠ ABQ ……(1)
De manera similar, el rayo CG es la bisectriz de ∠ BCS.
Por lo tanto, ∠ BCG = ½ ∠ BCS ……(2)
Usando el axioma de los ángulos correspondientes,
∠ ABE = ∠ BCG (BE || CG y AD es la transversal) ……(3)
Usando (1) y (2) en (3), obtienes
½ ∠ ABQ = ½ ∠ BCS
Es decir, ∠ ABQ = ∠ BCS
Como son los ángulos correspondientes formados por la transversal AD con PQ y RS.
Por lo tanto, PQ || RS. (Converso del axioma de los ángulos correspondientes)
Problema 3: En la Figura, AB || disco y disco || EF. También EA ⊥ AB. Si ∠ BEF = 55°, encuentre los valores de x, y y z.
Solución:
Dado que, AB || disco y disco || FE
⇒ AB || disco compacto || EF (Las líneas que son paralelas a la misma línea son paralelas entre sí )
Y, EB y AE son transversales.
y + 55° = 180° (CD || EF, Ángulos interiores del mismo lado de la transversal EB)
y = 180º – 55º = 125º
Como, x = y (AB || CD, axioma de los ángulos correspondientes)
x = y = 125º
Ahora, ∠ EAB + ∠ FEA = 180° (Ángulos interiores del mismo lado de la transversal EA)
90° + z + 55° = 180°
Por lo tanto, z = 35°.
Problema 4: En la figura, encuentre los valores de x e y y luego demuestre que AB || CD.
Solución:
Aquí,
x+50° = 180° (el par lineal es igual a 180°)
x = 130°
y, y = 130° (los ángulos verticalmente opuestos son iguales)
Aquí, lo que podemos observar es,
x = y = 130°
En dos rectas paralelas, los ángulos interiores alternos son iguales.
Por lo tanto, esto prueba que los ángulos alternos internos son iguales y, por lo tanto, AB || CD.
Problema 5: En la Figura, si AB || CD, ∠ APQ = 50° y ∠ PRD = 127°, encuentre x e y.
Solución:
Aquí, APQ = PQR (ángulos interiores alternos)
x = 50°
Y,
APR = PRD (Ángulos interiores alternos)
APQ+QPR = 127°
127° = 50°+ y
y = 77°
Por lo tanto, los valores son x = 50° e y = 77°.