Mapeo lineal

Sean V y W los espacios vectoriales sobre el campo K. Se dice que una función f: V-> W es el mapa lineal para dos vectores v,u \ $\epsilon V$ y un escalar c \ $\epsilon$ K:

Si la transformación es de naturaleza aditiva:

$f(u + v) = f(u) + f(v)$

Si son de naturaleza multiplicativa en términos de un escalar.

$f(cu) = c \cdot f(u)$

Cero/Transformación de Identidad

Una transformación lineal $T: V \rightarrow V$ de un espacio vectorial en sí mismo se denomina operador lineal:

Transformación Cero: Para una transformación $T: V \rightarrow W$ se llama transformación cero si:

$T(v) = 0 \, \forall \, V$

Identidad-Transformación: A una transformación $T: V \rightarrow V$ se le llama identidad-transformación si:

$T(v) =v \, \forall \, V$

Propiedades de la Transformación Lineal

Sea T: V \rightarrow W la transformación lineal donde u,v \epsilon V. Entonces, las siguientes propiedades son verdaderas:

$T(0) =0$
$T(-v) = - T(v)$
$T(u-v) = T(u) - T(v)$
si $v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + ... + c_n v_n$ entonces, $T(v) = c_1 T(v_1) + c_2 T(v_2) + ... + c_n T(v_n)$

Transformación lineal de array

Sea T una array de mxn, la transformación T: $R^n \rightarrow R^m$ es una transformación lineal si:

$T(v) = Av$

Operaciones de Array Cero e Identidad

Una array mxn array es una array cero , corresponde a la transformación cero de R^n \rightarrow R^m.
Una array nxn array es array de $\mathbb{I_n}$ identidad , corresponde a la transformación cero de $R^n \rightarrow R^m$ .

$A \cdot R^m = R^n \\ \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& .& .& .& a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& .& .& .&a_{2n} \\ .& .& .& & & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & & .& .\\ a_{m1}& a_{m2}& .& .& .&a_{mn} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ .\\ .\\ .\\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} v_1 + a_{12} v_2 \, .\, \, . a_{1n} v_n \\ .\\ .\\ .\\ .\\ a_{m1} v_1 + a_{m2} v_2 \, .\, \, . a_{mn} v_n \\ \end{bmatrix}$

Ejemplo

Consideremos la transformación lineal de R^{2} \rightarrow R^3 tal que:

$L(\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix})= \begin{bmatrix} v_2\\ v_1 - v_2 \\ v_1 + v_2 \end{bmatrix}$

Ahora, estaremos verificando que es una transformación lineal. Para eso, debemos verificar las dos condiciones anteriores para el mapeo lineal, primero, verificaremos las condiciones multiplicativas constantes:

$L(c \vec{v}) = c \cdot L(\vec{v})$

$L(c\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix})= \begin{bmatrix} c v_1\\ c v_1 - c v_2 \\ c v_1 + c v_2 \end{bmatrix}= c \begin{bmatrix} v_1\\ v_1 - v_2 \\ v_1 + v_2 \end{bmatrix} = c L(\vec{v})$

y la siguiente transformación:

$L(\vec{v} + \vec{w})= L(\vec{v}) + L(\vec{w})$

$\vec{v} =\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \vec{w} =\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} \vec{v} + \vec{w} =\begin{bmatrix} v_1 + w_1\\ v_2 + w_2 \end{bmatrix}$

$L(\vec{v} + \vec{w}) = \begin{bmatrix} v_1 + w_1\\ (v_1 + w_1) - (v_2 + w_2)\\ (v_1 + w_1) + (v_2 + w_2) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} v_1 + w_1\\ (v_1 + v_2) - (w_1 + w_2)\\ (v_1 + v_2) + (w_1 + w_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1\\ (v_1 - v_2)\\ (v_1 + v_2) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} w_1\\ (w_1 - w_2)\\ (w_1 + w_2) \end{bmatrix} = L(\vec{v}) + L(\vec{w})$

Demuestra que la transformación anterior es una transformación lineal. Los ejemplos de transformación no lineal incluyen transformación trigonométrica, transformaciones polinómicas.

Núcleo/Espacio de rango:

Espacio del núcleo:

Sea T: V \rightarrow W es una transformación lineal entonces \forall v \epsilon V tal que:

$T \cdot v =0$

es el espacio núcleo de T. También se le conoce como espacio nulo de T.

El espacio kernel de transformación cero para T:V \rightarrow W es W.
El espacio kernel de transformación de identidad para T:V \rightarrow W es {0}.

Las dimensiones del espacio del kernel se conocen como nulidad o nulo (T).

Espacio de rango:

Sea T: V \rightarrow W es una transformación lineal entonces \forall v \epsilon V tal que:

$T \cdot v = v$

es el espacio de rango de T. El espacio de rango siempre es un conjunto no vacío para una transformación lineal en array porque:

$T \cdot 0 =0$

Las dimensiones del espacio de rango se conocen como rango (T). La suma de rango y nulidad es la dimensión del dominio:

$null(T) + rank(T) = dim(V)=n$

Transformación lineal como rotación

Algunos de los operadores de transformación cuando se aplican a algún vector dan como resultado un vector con rotación con ángulo \theta del vector original.

La transformación lineal T: R^2 \rightarrow R^2 dada por matrix: $A= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin \theta \\ sin\theta & cos \theta \end{bmatrix}$ tiene la propiedad de que gira cada vector en sentido antihorario alrededor del ángulo de origen wrt \theta:

Sea v $=\begin{bmatrix} r \, cos \alpha\\ r \, sin \alpha \end{bmatrix}$

$T(v) = A \cdot v= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin \theta \\ sin\theta & cos \theta \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} r \, cos \alpha \\ r \, sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \cdot(\, cos \theta \, cos \alpha - sin \theta \, sin \alpha) \\ r \cdot (\, sin \theta \, cos \alpha + cos \theta \, sin \alpha) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \, cos(\theta + \alpha) \\ r \, sin(\theta + \alpha) \end{bmatrix}$

que es similar a rotar el vector original por \theta.

Transformación lineal como proyección

Una transformación lineal T: R^3 \rightarrow R^3 está dada por:

T = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Si un vector está dado por v = (x, y, z) . Entonces, T\cdot v = (x, y, 0). Esa es la proyección ortogonal del vector original.

Diferenciación como transformación lineal

Sea T: $P(F) \rightarrow P(F)$ la transformación de diferenciación tal que: $T \cdot p(z) = p^{'}(z).$ Entonces para dos polinomios p(z), $q(z) \epsilon P(F)$ , tenemos: