Mapeo lineal
Sean V y W los espacios vectoriales sobre el campo K. Se dice que una función f: V-> W es el mapa lineal para dos vectores v,u \ y un escalar c \
K:
- Si la transformación es de naturaleza aditiva:
- Si son de naturaleza multiplicativa en términos de un escalar.
Cero/Transformación de Identidad
Una transformación lineal de un espacio vectorial en sí mismo se denomina operador lineal:
- Transformación Cero: Para una transformación
se llama transformación cero si:
- Identidad-Transformación: A una transformación
se le llama identidad-transformación si:
Propiedades de la Transformación Lineal
Sea T: V \rightarrow W la transformación lineal donde u,v \epsilon V. Entonces, las siguientes propiedades son verdaderas:
- si
entonces,
Transformación lineal de array
Sea T una array de mxn, la transformación T: es una transformación lineal si:
Operaciones de Array Cero e Identidad
- Una array mxn array es una array cero , corresponde a la transformación cero de R^n \rightarrow R^m.
- Una array nxn array es array de
identidad , corresponde a la transformación cero de
.
Ejemplo
Consideremos la transformación lineal de R^{2} \rightarrow R^3 tal que:
Ahora, estaremos verificando que es una transformación lineal. Para eso, debemos verificar las dos condiciones anteriores para el mapeo lineal, primero, verificaremos las condiciones multiplicativas constantes:
y la siguiente transformación:
Demuestra que la transformación anterior es una transformación lineal. Los ejemplos de transformación no lineal incluyen transformación trigonométrica, transformaciones polinómicas.
Núcleo/Espacio de rango:
Espacio del núcleo:
Sea T: V \rightarrow W es una transformación lineal entonces \forall v \epsilon V tal que:
es el espacio núcleo de T. También se le conoce como espacio nulo de T.
- El espacio kernel de transformación cero para T:V \rightarrow W es W.
- El espacio kernel de transformación de identidad para T:V \rightarrow W es {0}.
Las dimensiones del espacio del kernel se conocen como nulidad o nulo (T).
Espacio de rango:
Sea T: V \rightarrow W es una transformación lineal entonces \forall v \epsilon V tal que:
es el espacio de rango de T. El espacio de rango siempre es un conjunto no vacío para una transformación lineal en array porque:
Las dimensiones del espacio de rango se conocen como rango (T). La suma de rango y nulidad es la dimensión del dominio:
Transformación lineal como rotación
Algunos de los operadores de transformación cuando se aplican a algún vector dan como resultado un vector con rotación con ángulo \theta del vector original.
- La transformación lineal T: R^2 \rightarrow R^2 dada por matrix:
tiene la propiedad de que gira cada vector en sentido antihorario alrededor del ángulo de origen wrt \theta:
Sea v
que es similar a rotar el vector original por \theta.
Transformación lineal como proyección
Una transformación lineal T: R^3 \rightarrow R^3 está dada por:
T =
Si un vector está dado por v = (x, y, z) . Entonces, T\cdot v = (x, y, 0). Esa es la proyección ortogonal del vector original.
Diferenciación como transformación lineal
Sea T: la transformación de diferenciación tal que:
Entonces para dos polinomios p(z),
, tenemos:
De manera similar, para el escalar a \epsilon F tenemos:
La ecuación anterior demostró que la diferenciación es una transformación lineal.