Matemáticas | Área de la superficie del sólido de revolución

Considere un plano y=f(x) en el plano xy entre las ordenadas x=a y x=b. Si una determinada parte de esta curva gira alrededor de un eje, se genera un sólido de revolución.

Podemos calcular el área de esta revolución de varias maneras, tales como:

Forma cartesiana:
- El área del sólido formada al girar el arco de la curva alrededor del eje x es:
  $S= \int_{x=a}^{x=b} 2\pi y\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$
- El área de revolución al girar la curva alrededor del eje y es-
  $S= \int_{y=c}^{y=d} 2\pi x \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy$
Forma paramétrica: $x=x(t), y=y(t)$
- Sobre el eje x:
  $S=\int_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} 2\pi y(t) \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$
- Sobre el eje y:
  $S=\int_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} 2\pi x(t) \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$
Forma polar: r=f(θ)
- Sobre el eje x: línea inicial $\theta = \frac{\pi}{2}$
  $S= \int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi y\frac{ds}{d\theta}d\theta$
  $=\int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi (r sin\theta) \sqrt{r^2+(\frac {dr}{d\theta})^2}d\theta$
  Aquí reemplaza r por f(θ)
- Sobre el eje y:
  $S= \int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi x\frac{ds}{d\theta}d\theta$
  $=\int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi (r cos\theta) \sqrt{r^2+(\frac {dr}{d\theta})^2}d\theta$
  Aquí reemplaza r por f(θ)
Sobre cualquier eje o línea L: $S= \int 2\pi (PM) ds$ donde PM es la distancia perpendicular de un punto P de la curva al eje dado.
- Límites para x: x = a hasta x = b
  $S=\int_{x=a}^{x=b} 2\pi (PM)\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$
  Aquí PM está en términos de x.
- Límites para y: y = c a y = d
  $S= \int_{y=c}^{y=d} 2\pi (PM)\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy$
  Aquí PM está en términos de y.

Ejemplo:
encuentre el área del sólido de revolución generado al girar la parábola $y^2=4ax, 0\leq x \leq 3a$ alrededor del eje x.
Explicación:
Ahora tenemos la forma cartesiana de la ecuación de la parábola y la parábola se ha girado sobre el eje x. Por lo tanto, usamos la fórmula para girar la forma cartesiana sobre el eje x, que es: