Matemáticas Discretas – Aplicaciones de la Lógica Proposicional

Una proposición es una afirmación, afirmación u oración declarativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. Por ejemplo, la oración «Ram fue a la escuela». puede ser verdadero o falso, pero el caso de que ambos sucedan no es posible. Entonces podemos decir, la oración «Ram fue a la escuela». es una proposición. Pero, la oración «N es mayor que 100» no es una proposición, ya que no podemos afirmar si es verdadera o falsa a menos que se dé el valor de N. Algunos ejemplos más de proposiciones son “12 – 10 = 3”, “La biblioteca está abierta”, etc. 

El área de la lógica matemática que se ocupa de las proposiciones se denomina Lógica Proposicional o Cálculo Proposicional . También se conoce como lógica oracional o cálculo oracional . Estudia los valores lógicos de las proposiciones cuando se toman como un todo y las relaciones lógicas cuando se conectan mediante conectivos lógicos (como AND lógico, OR lógico, etc.). 

Importancia de la lógica proposicional

La lógica proposicional juega un papel importante en la informática, así como en la vida diaria de una persona. Los principales beneficios de estudiar y usar la lógica proposicional son que nos impide hacer inferencias inconsistentes y decisiones imprudentes. Incorpora habilidades de razonamiento y pensamiento en la vida diaria. 

Aplicaciones de la Lógica Proposicional

En el campo de la informática, la lógica proposicional tiene una amplia variedad de aplicaciones y, por lo tanto, es muy importante. Se usa en especificaciones de sistemas, diseño de circuitos, acertijos lógicos, etc. Además, también se puede usar para traducir oraciones en inglés a enunciados matemáticos y viceversa. Veamos en detalle esta gran variedad de aplicaciones.

1) Traducir oraciones en inglés a enunciados lógicos

Como cualquier otro idioma humano, las oraciones en inglés pueden ser ambiguas. Esta ambigüedad podría conducir a una toma de decisiones desinformada y otros errores fatales. Para eliminar esta ambigüedad, podemos traducir estas oraciones en inglés a expresiones lógicas con la ayuda de la lógica proposicional. Tenga en cuenta que a veces esto puede incluir hacer algunas suposiciones basadas en el significado previsto de la oración. 

Ejemplo: Dada una oración “ Puedes comprar este libro si tienes $20 o $10 y un cupón de descuento. Ahora bien, esto es un poco complejo para ser entendido de una vez. Así que traducimos esto en una expresión lógica que lo hará fácil de entender. Sean a , b , c y d las oraciones » Puedes comprar este libro. “, “ Tienes $20. “, “ Tienes $10. “, y “ Tienes un cupón de descuento. ” respectivamente. Entonces la oración dada se puede traducir a   (b ∨ (c ∧ d) -> a, lo que simplemente significa que “si tiene $20 o $10, junto con un cupón de descuento, entonces puede comprar el libro”.

2) Especificaciones del sistema

Al desarrollar/fabricar un sistema (Software o Hardware), los desarrolladores/fabricantes deben cumplir con ciertas necesidades y especificaciones, que generalmente se expresan en inglés. Pero como las oraciones en inglés pueden ser ambiguas, los desarrolladores/ingenieros traducen estas especificaciones del sistema en expresiones lógicas para establecer las especificaciones de manera rigurosa y sin ambigüedades.

Ejemplo: Sean a, b, c y d las oraciones “ La computadora está dentro de la red local. “, “ La computadora tiene una identificación de inicio de sesión válida. “, “ La computadora está bajo el uso del administrador. “, e “ Internet es accesible para la computadora”. Entonces, la oración compleja, “ Si la computadora está dentro de la red local o no está dentro de la red local pero tiene una identificación de inicio de sesión válida o está bajo el uso del administrador, entonces la computadora puede acceder a Internet. ” se puede expresar como ( a ∨ (¬a ∧ b) ∨ c) -> d.

3) Rompecabezas lógicos

Los acertijos que se resuelven usando el razonamiento y la lógica se llaman acertijos lógicos. Se pueden usar para ejercicios cerebrales, fines recreativos y para probar las capacidades de razonamiento de una persona. Resolver tales acertijos es generalmente complicado, pero se puede hacer fácilmente usando la lógica proposicional. Algunos de los acertijos lógicos famosos son el acertijo de los niños fangosos , los acertijos de Smullyan sobre caballeros y escuderos, etc. 

Ejemplo:

Planteamiento del problema: Hay una isla que tiene dos clases de habitantes, los caballeros, que siempre dicen la verdad, y sus opuestos, los bribones, que siempre mienten. Te encuentras con dos personas A y B. Determina qué son A y B si A dice «B es un bribón» y B dice «Ambos somos del mismo tipo».

Solución : Sean p y q los enunciados de que A es un caballero y B es un caballero, respectivamente, entonces ¬p y ¬q son los enunciados de que A es un escudero y B es un escudero, respectivamente. Supongamos que A es un caballero, es decir, p es verdadera. Entonces A está diciendo la verdad, lo que significa que ¬q es verdad. Ahora bien, como B es un bribón todo lo que dice es mentira, es decir, (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)es falso, lo que simplemente significa que si uno de ellos es un escudero, el otro es un caballero o viceversa. Ahora, según la suposición, esta afirmación es verdadera. Entonces podemos concluir que A es un caballero y B es un escudero.

4) Búsquedas booleanas

Otra aplicación importante de la lógica proposicional son las búsquedas booleanas . Estas búsquedas utilizan técnicas de la lógica proposicional. Los conectores lógicos se utilizan ampliamente en búsquedas de grandes colecciones de información, como índices de páginas web. En las búsquedas booleanas, el conector AND se usa para encontrar registros que contienen ambos términos, el conector OR se usa para encontrar registros que tienen uno o ambos términos, y el conector NOT, también escrito como AND NOT, es se utiliza cuando necesitamos excluir un término de búsqueda en particular. 

Ejemplo: algunos motores de búsqueda web admiten la búsqueda de páginas web que utilizan técnicas booleanas. Por ejemplo, si queremos buscar páginas web sobre senderismo en West Alps, entonces podemos buscar páginas que coincidan con WEST AND ALPES AND SENDERISMO. Y si queremos páginas web sobre senderismo en los Alpes, pero no en West Alps, entonces podemos buscar páginas que coincidan con el registro SENDERISMO Y ALPES Y NO (OESTE Y ALPES).

5) Circuitos lógicos/computadores

Las puertas o circuitos lógicos son dispositivos electrónicos que implementan funciones booleanas, es decir, hace una operación lógica en uno o más bits de entrada y da un bit como salida. Son los componentes básicos de cualquier sistema digital. La relación entre la entrada y la salida se basa en una cierta lógica proposicional. 

Ejemplo: Las compuertas lógicas se nombran como compuerta AND, compuerta OR, compuerta NOT, etc. según los nombres de los conectores lógicos AND, OR, NOT, etc. Los valores de verdad de salida para los bits de entrada dados para estas compuertas son los mismos que los devueltos por los conectores lógicos.

6) Inferencia y toma de decisiones

La Lógica Proposicional es ampliamente utilizada en la elaboración de reglas de inferencia y toma de decisiones. Estas reglas de inferencias se pueden usar para construir argumentos. Cuando se dan varias premisas, es difícil saber si un argumento dado es válido. Por lo tanto, usamos estas reglas de inferencia para validar un argumento y tomar una decisión.

Ejemplo: Podemos probar que las siguientes premisas construyen un argumento válido usando la regla de inferencia.

“ Si hoy es martes, tengo un examen de inglés o de ciencias. Si mi profesor de inglés está ausente, entonces no tendré una prueba en inglés. Hoy es martes y mi profesor de inglés está ausente. Por lo tanto, tengo una prueba en Ciencias. “

T: hoy es martes

E: tengo un examen de ingles

S: tengo un examen de ciencias

A: Mi profesor de inglés está ausente.

Por lo tanto, el argumento expuesto es válido.

7) Inteligencia Artificial – Lógica Difusa

Los algoritmos de IA hacen uso de la lógica difusa . En la lógica difusa, no hay lógica para la verdad absoluta y el valor falso absoluto. Pero en la lógica difusa, hay un valor intermedio demasiado presente que es parcialmente verdadero y parcialmente falso.

Por ejemplo: el valor de verdad 0,6 se puede asignar a la afirmación «Fred está feliz», porque Fred está un poco más feliz que la mayoría del tiempo, y el valor de verdad 0,5 se puede asignar a la afirmación «Percy está feliz» porque Percy está feliz. feliz la mitad del tiempo.