Matemáticas | Estructura algebraica

Estructura algebraica

Un conjunto no vacío S se denomina estructura algebraica con operación binaria (*) si sigue los siguientes axiomas: 

• Clausura: (a*b) pertenece a S para todo a ,b ∈ S. 
   

Ej: S = {1,-1} es la estructura algebraica bajo * 

Como 1*1 = 1, 1*-1 = -1, -1*-1 = 1 todos los resultados pertenecen a S. 

Pero arriba no hay estructura algebraica debajo de + ya que 1+(-1) = 0 no pertenece a S. 

Semigrupo

Un conjunto no vacío S, (S,*) se llama semigrupo si sigue el siguiente axioma: 
 

• Clausura: (a*b) pertenece a S para todo a, b ∈ S. 
   
• Asociatividad: a*(b*c) = (a*b)*c ∀ a, b ,c pertenece a S.

Nota: Un semigrupo es siempre una estructura algebraica. 

Ej: (Conjunto de enteros, +) y (Array,*) son ejemplos de semigrupo. 

monoide

Un conjunto no vacío S, (S,*) se llama monoide si sigue el siguiente axioma: 
 

• Clausura: (a*b) pertenece a S para todo a, b ∈ S. 
• Asociatividad: a*(b*c) = (a*b)*c ∀ a, b, c pertenece a S.
• Elemento de Identidad: Existe e ∈ S tal que a*e = e*a = a ∀ a ∈ S

Nota: Un monoide es siempre una estructura semi-grupal y algebraica. 

Ej: (Conjunto de números enteros,*) es monoide ya que 1 es un número entero que también es un elemento de identidad. 
(Conjunto de números naturales, +) no es Monoide ya que no existe ningún elemento de identidad. Pero esto es Semigrupo. 
Pero (Conjunto de números enteros, +) es Monoid con 0 como elemento de identidad. 

Grupo

Un conjunto no vacío G, (G,*) se llama grupo si sigue el siguiente axioma: 
 

• Clausura: (a*b) pertenece a G para todo a, b ∈ G.
• Asociatividad: a*(b*c) = (a*b)*c ∀ a, b, c pertenece a G.
• Elemento de Identidad: Existe e ∈ G tal que a*e = e*a = a ∀ a ∈ G
• Inversas: ∀ a ∈ G existe a ^-1 ∈ G tal que a*a ^-1 = a ^-1 *a = e

 Nota:

1. Un grupo es siempre una estructura monoide, semigrupo y algebraica.
2. (Z,+) y la multiplicación de arrays es un ejemplo de grupo.

Grupo abeliano o grupo conmutativo

Un conjunto no vacío S, (S,*) se denomina grupo abeliano si sigue el siguiente axioma: 
 

• Clausura: (a*b) pertenece a S para todo a, b ∈ S. 
   
• Asociatividad: a*(b*c) = (a*b)*c ∀ a ,b ,c pertenece a S.
• Elemento de Identidad: Existe e ∈ S tal que a*e = e*a = a ∀ a ∈ S
• Inversas: ∀ a ∈ S existe a ^-1 ∈ S tal que a*a ^-1 = a ^-1 *a = e
• Conmutativa: a*b = b*a para todo a, b ∈ S

Para encontrar un conjunto se encuentra en qué categoría uno siempre debe verificar los axiomas uno por uno a partir de la propiedad de cierre y así sucesivamente. 

Aquí están algunos resultados importantes:

	Debe satisfacer las propiedades
Estructura algebraica	Cierre
Semigrupo	Cierre, Asociativo
monoide	Cierre, Asociativo, Identidad
Grupo	Cierre, Asociativo, Identidad, Inverso
Grupo Abeliano	Cierre, Asociativo, Identidad, Inverso, Conmutativo

Aquí una tabla con diferentes conjuntos y operaciones no vacíos.

N=Conjunto de Números Naturales

Z=Conjunto de enteros

R=Conjunto de Números Reales

E=Conjunto de números pares

O=Conjunto de números impares

M=Conjunto de Array

+,-,×,÷ son las operaciones.

Conjunto, Operación	Algebraico Estructura	Semi Grupo	monoide	Grupo	abeliano Grupo
n,+	Y	Y	X	X	X
NORTE,-	X	X	X	X	X
N ×	Y	Y	Y	X	X
N, ÷	X	X	X	X	X
Z,+	Y	Y	Y	Y	Y
Z,-	Y	X	X	X	X
Z ×	Y	Y	Y	X	X
Z, ÷	X	X	X	X	X
R,+	Y	Y	Y	Y	Y
R,-	Y	X	X	X	X
R ×	Y	Y	Y	X	X
R, ÷	X	X	X	X	X
mi,+	Y	Y	Y	Y	Y
mi, ×	Y	Y	X	X	X
O,+	X	X	X	X	X
O ×	Y	Y	Y	X	X
m,+	Y	Y	Y	Y	Y
M ×	Y	Y	Y	X	X

Este artículo es una contribución de Abhishek Kumar . 
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