Matemáticas | Homomorfismos de anillos

Requisito previo: Anillos

Homomorfismo de anillo:
un conjunto $R$ con dos operaciones binarias en el conjunto $R$ let denotado por $+$ y $*$ se llama anillo denotado como $(R, +, *)$ , si $(R, +)$ es un grupo abeliano y $(R, *)$ es un semigrupo, que también siguen las leyes distributivas derecha e izquierda.

para dos anillos $(R,+,*)$ y $(S,⨁,$ [Tex]\times [/Tex] $)$ una aplicación $f : R → S$ se denomina homomorfismo de anillos si

$f (a + b) = f (a) ⨁ f (b)$ , ∀a, segundo ∈ $R$ .
$f(a * b) = f(a) \times f(b)$ , ∀a, segundo ∈ $R$ .
$f$ [Tex]( [/Tex]I _R $)$ $=$ I _S , si I _R e I _S son identidades (si existen que en el caso de Ring con unidad) de operaciones set $R$ over $*$ y set $S$ over $\times$ respectivamente.

NOTA: El anillo $(S,⨁, \times )$ se llama imagen homomórfica del anillo $(R,+,*)$ .

Ejemplos:

Función f(x) = x mod(n) del grupo ( $Z$ ,+,*) a ( $Z$ _n ,+,*) ∀x ∈ $Z, Z$ es un grupo de enteros. + y * son operaciones simples de suma y multiplicación respectivamente.
Función f(x) = x para cualquiera de los dos grupos (R,+,*) y (S,⨁, $\times$ ) ∀x ∈ R, lo que se denomina homomorfismo de anillos de identidad.
Función f(x) = 0 para grupos (N,*,+) y (Z,*,+) para ∀x ∈ N.
Función f(x) = que es un grupo de forma conjugada compleja (C,+,*) consigo mismo, aquí C es un conjunto de números complejos. + y * son operaciones simples de suma y multiplicación respectivamente.

NOTA: Si f es homomorfismo de (R,+,*) y (S,⨁, $\times$ ) entonces f(O _R ) = f(O _S ) donde O _R y O _S son identidades del conjunto R sobre + y el conjunto S sobre ⨁ operaciones respectivamente.

NOTA: Si f es homomorfismo de anillos de (R,+,*) y (S,⨁, $\times$ ) entonces f : (R,+) → (S,⨁) es homomorfismo de grupos.

Isomorfismo de anillo:
un homomorfismo de uno y otro de anillo $R$ a anillo $S$ se llama isomorfismo de anillo, $R$ y $S$ son isomorfos.

Automorfismo de anillos:
Un homomorfismo de un anillo a sí mismo se llama Automorfismo de anillos.

Homomorfismo de campo:
para dos campos $(F,+,*)$ y $(K,⨁, \times)$ una aplicación $f : F → K$ se llama homomorfismo de campo si

$f(a + b) = f(a) ⨁ f(b)$ , ∀a, segundo ∈ $F$ .
$f(a * b) = f(a) \times f(b)$ , ∀a, segundo ∈ $F$ .
$f($ I _F $)$ $=$ I _K , donde I _F e I _K son identidades de operaciones de $F$ reposición $*$ y $K$ reposición $\times$ respectivamente.
$f($ O _F $)$ $=$ O _K , donde OF _y OK _son identidades de las operaciones set $F$ over $+$ y set $K$ over $⨁$ respectivamente.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ohiamvaibhav y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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