Antiderivada –
- Definición: Una función ∅(x) se llama antiderivada (o integral) de una función f(x) de ∅(x)’ = f(x).
- Ejemplo : x 4 /4 es una antiderivada de x 3 porque (x 4 /4)’ = x 3 .
In general, if ∅(x) is antiderivative of a function f(x) and C is a constant.Then, {∅(x)+C}' = ∅(x) = f(x).
Integrales indefinidas –
- Definición: Sea f(x) una función. Entonces la familia de todas sus antiderivadas se llama integral indefinida de una función f(x) y se denota por ∫f(x)dx.
El símbolo ∫f(x)dx se lee como la integral indefinida de f(x) con respecto a x.
Por lo tanto, ∫f(x)dx= ∅(x) + C.
Por lo tanto, el proceso de encontrar la integral indefinida de una función se llama integración de la función.
Fórmulas fundamentales de integración –
- ∫x norte dx = (x norte +1 /( n +1))+C
- ∫(1/x)dx = (log e |x|)+C
- ∫e x dx = (e x )+C
- ∫a x dx = ((e x )/(log e a))+C
- ∫sen(x)dx = -cos(x)+C
- ∫cos(x)dx = sen(x)+C
- ∫seg 2 (x)dx = tan(x)+C
- ∫coseg 2 (x)dx = -cot(x)+C
- ∫sec(x)tan(x)dx = sec(x)+C
- ∫cosec(x)cot(x)dx = -cosec(x)+C
- ∫cot(x)dx = log|sen(x)|+C
- ∫tan(x)dx = log|seg(x)|+C
- ∫sec(x)dx = log|sec(x)+tan(x)|+C
- ∫cosec(x)dx = log|cosec(x)-cot(x)|+C
Ejemplos –
- Ejemplo 1. Evalúa ∫x 4 dx.
- Solución –
Using the formula, ∫xndx = (xn+1/(n+1))+C ∫x4dx = (x4+1/(4+1))+C = (x5/(5))+C - Ejemplo 2. Evalúa ∫2/(1+cos2x)dx.
- Solución –
As we know that 1+cos2x = 2cos2x ∫2/(1+cos2x)dx = ∫(2/(2cos2x))dx = ∫sec2x = tan(x)+C - Ejemplo 3. Evalúa ∫((x 3 -x 2 +x-1)/(x-1))dx.
- Solución –
∫((x3-x2+x-1)/(x-1))dx = ∫((x2(x-1)+(x-1))/(x-1))dx = ∫(((x2+1)(x-1))/(x-1))dx = ∫(x2+1)dx = (x3/3)+x+C Using, ∫xndx = (xn+1/(n+1))+C
Métodos de Integración –
- Integración por sustitución:
- Definición: el método para evaluar la integral reduciéndola a su forma estándar por sustitución adecuada se denomina integración por sustitución.
Si f(x) es una función continuamente diferenciable, entonces para evaluar la integral de la forma∫g(f(x))f(x)dx
sustituimos f(x)=t y f(x)’dx=dt.
Esto reduce la integral a la forma∫g(t)dt
- Ejemplos:
- Ejemplo 1. Evaluar el ∫e 2x-3 dx
- Solución
Let 2x-3=t => dx=dt/2 ∫e2x-3dx = (∫etdx)/2 = (∫et)/2 = ((e2x-3)/2)+C - Ejemplo 2. Evaluar el ∫sin(ax+b)cos(ax+b)dx
- Solución
Let ax+b=t => dx=dt/a; ∫sin(ax+b)cos(ax+b)dx = (∫sin(t)cos(t)dt)/a = (∫sin(2t)dt)/2a = -(cos(2t))/4a = (-cos(2ax+2b)/4a)+C
- Definición: el método para evaluar la integral reduciéndola a su forma estándar por sustitución adecuada se denomina integración por sustitución.
- Integración por partes :
- Teorema: si u y v son dos funciones de x, entonces
∫(uv)dx = u(∫vdx)-∫(u'∫vdx)dx
donde u es una primera función de x y v es la segunda función de x
- Elegir la primera función:
Podemos elegir la primera función como la función que viene primero en la palabra ILATE donde- I – significa funciones trigonométricas inversas.
- L – significa funciones logarítmicas.
- A – significa funciones algebraicas.
- T – significa funciones trigonométricas.
- E – significa funciones exponenciales.
- Ejemplos:
- Ejemplo 1. Evalúa el ∫xsin(3x)dx
- Solución
Taking I= x and II = sin(3x) ∫xsin(3x)dx = x(∫sin(3x)dx)-∫((x)'∫sin(3x)dx)dx = x(cos(3x)/(-3))-∫(cos(3x)/(-3))dx = (xcos(3x)/(-3))+(cos(3x)/9)+C - Ejemplo 2. Evaluar el ∫xsec 2 xdx
- Solución
Taking I= x and II = sec2x ∫xsin(3x)dx = x(∫sec2xdx)-∫((x)'∫sec2xdx)dx = (xtan(x))-∫(1*tan(x))dx = xtan(x)+log|cos(x)|+C
- Teorema: si u y v son dos funciones de x, entonces
- Integración por Fracciones Parciales:
- Fracciones parciales:
si f(x) y g(x) son dos funciones polinómicas, entonces f(x)/g(x) define una función racional de x.
Si el grado de f(x) < grado de g(x), entonces f(x)/g(x) es una función racional propia de x.
Si el grado de f(x) > grado de g(x), entonces f(x)/g(x) es una función racional impropia de x.
Si f(x)/g(x) es una función racional impropia, dividimos f(x) entre g(x) para que la función racional pueda representarse como ∅(x) + (h(x)/g(x )).Ahora h(x)/g(x) es una función racional propia.
Cualquier función racional propia se puede expresar como la suma de funciones racionales, cada una de las cuales tiene un factor simple de g(x). Cada una de esas fracciones se denomina fracción parcial. - Casos en Fracciones Parciales:
- Caso 1.
Cuando g(x) = (xa 1 )(xa 2 )(xa 3 )….(xa n ), entonces asumimos quef(x)/g(x) = (A1/(x-a1))+(A2/(x-a2))+(A3/(x-a3))+....(An/(x-an))
- Caso 2.
Cuando g(x) = (xa) k (xa 1 )(xa 2 )(xa 3 )
….(xa r ),
entonces suponemos quef(x)/g(x) = (A1/(x-a)1)+(A2/(x-a)2)+(A3/(x-a)3) +....(Ak/(x-a)k)+(B1/(x-a1))+(B2/(x-a2))+(B3/(x-a3)) +....(Br/(x-ar))
- Caso 1.
- Ejemplos:
- Ejemplo 1. ∫(x-1)/((x+1)(x-2))dx
- Solución
Let (x-1)/((x+1)(x-2))= (A/(x+1))+(B/(x-2)) => x-1 = A(x-2)+B(x+1)
Poniendo x-2 = 0, obtenemos
B = 1/3
Poniendo x+1 = 0, obtenemos
A = 2/3
Sustituyendo los valores de A y B, obtenemos
(x-1)/((x+1)(x-2))= ((2/3)/(x+1))+((1/3)/(x-2)) ∫((2/3)/(x+1))+((1/3)/(x-2))dx = ((2/3)∫(1/(x+1))dx)+((1/3)∫(1/(x-2))dx) = ((2/3)log|x+1|)+((1/3)log|x-2|)+C
- Ejemplo 2. ∫(cos(x))/((2+sin(x))(3+4sin(x)))dx
- Solución
Let I = ∫(cos(x))/((2+sin(x))(3+4sin(x)))dx
Haciendo sin(x) = t y cos(x)dx = dt, obtenemos
I = ∫dt/((2+t)(3+4t)) Let 1/((2+t)(3+4t))= (A/(2+t))+(B/(3+4t)) => 1 = A(3+4t)+B(2+t)
Poniendo 3+4t = 0, obtenemos
B = 4/5
Poniendo 2+t = 0, obtenemos
A = -1/5
Sustituyendo los valores de A y B, obtenemos
1/((2+t)(3+4t)) = ((-1/5)/(2+t))+((4/5)/(3+4t)) I = (∫((-1/5)/(2+t))dt)+(∫((4/5)/(3+4t))dt) = ((-1/5)log|2+t|)+((1/5)log|3+4t|)+C = ((-1/5)log|2+sin(x)|)+((1/5)log|3+4sin(x)|)+C
- Fracciones parciales:
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por AniketSingh1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA