Matemáticas | Introducción a la teoría de conjuntos

Un conjunto es una colección desordenada de objetos, conocidos como elementos o miembros del conjunto.
Un elemento ‘a’ perteneciente a un conjunto A puede escribirse como ‘a ∈ A’, ‘a ∉ A’ denota que a no es un elemento del conjunto A.

Representación de un Conjunto
Un conjunto puede ser representado por varios métodos. 3 métodos comunes utilizados para representar conjuntos:
1. Forma de declaración.
2. Forma de tostador o método de forma tabular.
3. Establecer el método Builder.

Forma
de enunciado En esta representación se da la descripción bien definida de los elementos del conjunto. A continuación se muestran algunos ejemplos de la misma.
1. El conjunto de todos los números pares menores que 10.
2. El conjunto de los números menores que 10 y mayores que 1.

Formulario de lista
En esta representación, los elementos se enumeran dentro del par de corchetes {} y están separados por comas. A continuación se muestran dos ejemplos.
1. Sea N el conjunto de los números naturales menores que 5.
N = { 1 , 2 , 3, 4 }.

2. El conjunto de todas las vocales del alfabeto inglés.
V = { un , mi , yo , o , tu }.

Forma
de constructor de conjuntos En el constructor de conjuntos, el conjunto se describe mediante una propiedad que su miembro debe satisfacer.
1. {x: x es un número par divisible por 6 y menor que 100}.
2. {x: x es un número natural menor que 10}.

Conjuntos iguales
Se dice que dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos. Por ejemplo A = {1, 3, 9, 7} y B = {3, 1, 7, 9} son conjuntos iguales.

NOTA: El orden de los elementos de un conjunto no importa.

Subconjunto

Se dice que un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B si y solo si cada elemento del conjunto A es también parte de otro conjunto B.
Denotado por ‘ ⊆ ‘.
‘A ⊆ B ‘ denota que A es un subconjunto de B.

Para demostrar que A es el subconjunto de B, simplemente debemos demostrar que si x pertenece a A, entonces x también pertenece a B.
Para demostrar que A no es un subconjunto de B, debemos encontrar un elemento que sea parte del conjunto A. pero no pertenecen al conjunto B.

‘U’ denota el conjunto universal.
El diagrama de Venn anterior muestra que A es un subconjunto de B.

Tamaño de un conjunto El
tamaño de un conjunto puede ser finito o infinito.

Por ejemplo

Finite set: Set of natural numbers less than 100.
Infinite set: Set of real numbers.

El tamaño del conjunto S se conoce como número de Cardinalidad , denotado como |S|.

Ejemplo: Sea A un conjunto de enteros positivos impares menores que 10.
Solución: A = {1,3,5,7,9}, la Cardinalidad del conjunto es 5, es decir,|A| = 5.

Nota: La cardinalidad de un conjunto nulo es 0.

Conjuntos
potencia El conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos posibles del conjunto S. Denotado por P(S).
Ejemplo: ¿Cuál es el conjunto potencia de {0,1,2}?
Solución: Todos los subconjuntos posibles
{∅}, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}.
Nota: el conjunto vacío y el propio conjunto también son miembros de este conjunto de subconjuntos.

La cardinalidad del conjunto de potencias es

, donde n es el número de elementos de un conjunto.

Productos cartesianos
Sean A y B dos conjuntos. El producto cartesiano de A y B se denota por A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b), donde a pertenece a A y b pertenece a B.

A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Ejemplo 1. Cuál es el producto cartesiano de A = {1,2} y B = {p, q, r}.
Solución: A × B = {(1, p), (1, q), (1, r), (2, p), (2, q), (2, r) };

La cardinalidad de A × B   es N*M, donde N es la cardinalidad de A y M es la cardinalidad de B.

Nota: A × B no es lo mismo que B × A.

A continuación se muestran algunas preguntas anteriores de Gate

https://www.geeksforgeeks.org/gate-gate-cs-2015-set-2-question-28/

https://www.geeksforgeeks.org/gate-gate-cs-2015-set-1-question-26/

Teoría de conjuntos  continúa..

Referencias

https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_product

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