Matemáticas | Introducción a las pruebas

La prueba matemática es un argumento que damos lógicamente para validar una declaración matemática. Para validar una declaración, consideramos dos cosas: una declaración y operadores lógicos . 

Una afirmación es verdadera o falsa, pero no ambas. Los operadores lógicos son Y, O, NO, Si entonces, y Si y solo si. Junto con cuantificadores como para todos y existe. Aplicamos operadores en la declaración para verificar la corrección de la misma. 

Tipos de demostraciones matemáticas: 

• Prueba por casos: 
  en este método, evaluamos cada caso de la declaración para concluir su veracidad. 

  Ejemplo: Para cada entero x, el entero x(x + 1) es par 
  Prueba: Si x es par, entonces, x = 2k para algún número k. ahora la declaración se convierte en: 
   

2k(2k + 1)

que es divisible por 2, por lo tanto es par. 

Si x es impar, por lo tanto x = 2k + 1 para algún número k, ahora el enunciado se convierte en: 

(2k+1)(2k+1+1) = (2k + 1) 2(k  + 1)

que nuevamente es divisible por 2 y, por lo tanto, en ambos casos probamos que x(x+1) es par. 

• Prueba por contradicción: 
  asumimos la negación de la declaración dada y luego procedemos a concluir la prueba. 

  Ejemplo: Demostrar que sqrt(2) es irracional 
  Supongamos que sqrt(2) es racional. 

sqrt(2) = a/b 

para algunos enteros ayb con b != 0. 
Elijamos enteros ayb con sqrt(2) = a/b, tal que b sea positivo y lo más pequeño posible. (Principio de buen orden) 

 a^2 = 2b^2 

Como a^2 es par, se sigue que a es par. 
a = 2k para algún entero k, entonces a^2 = 4k^2 
b^2 = 2k^2. Como b^2 es par, se sigue que b es par. 
Como a y b son pares, a/2 y b/2 son números enteros con b/2 > 0, y sqrt(2) = (a/2)/(b/2), porque (a/2)/( b/2) = a/b. 
Pero contradice nuestra suposición b es lo más pequeño posible. Por lo tanto sqrt(2) no puede ser racional. 

• Prueba por inducción: 
  el principio de inducción matemática (PMI). Sea P(n) un enunciado sobre el entero positivo n. Si lo siguiente es cierto: 

1. P(1), 
2. (for all n there exists Z+) P(n) implies P(n + 1), 
   then (for all n there exists Z+) P(n).

Ejemplo: Para todo entero positivo n, 

1 + 2 +···+ n = n(n + 1)/ 2 

Prueba: 
Caso base: Si n = 1, 

1 +  ··· + n = 1 

Y 

n(n + 1)/2 = 11 

• Paso inductivo: 
  Supongamos que para un n dado existe Z+, 

1 + 2 +···+ n = n(n + 1)/ 2  ---- (i) (inductive hypothesis) 

Nuestro objetivo es demostrar que: 

1 + 2 +···+ n + (n + 1) = [n + 1]([n + 1] + 1)/ 2
i.e. 1 + 2 +···+ n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2) /2 

Suma n + 1 en ambos lados de la ecuación (i), obtenemos, 

1 + 2 +···+ n + (n + 1) 
= n(n + 1)/ 2 +  (n + 1)
= n(n + 1) /2 + 2(n + 1) /2
= (n + 2)(n + 1) /2 

• Prueba directa: 
  cuando queremos probar una declaración condicional p implica q, asumimos que p es verdadera y seguimos las implicaciones para demostrar que q es verdadera. 
  Es principalmente una aplicación del silogismo hipotético, [(p → r) ∧ (r → q)] → (p → q)] 
  Solo tenemos que encontrar las proposiciones que nos llevan a q. 

  Teorema: si m es par y n es impar, entonces su suma es impar 
  Prueba: 
  como m es par, existe un entero j tal que m = 2j. 
  Como n es impar, existe un entero k tal que n = 2k+1. Después, 
   

m+n = (2j)+(2k+1) = 2(j+k)+1 

Como j+k es un número entero, vemos que m+n es impar.