Matemáticas | Introducción y tipos de Relaciones

La relación o relación binaria R del conjunto A al B es un subconjunto de AxB que se puede definir como
aRb ↔ (a,b) € R ↔ R(a,b).
Una relación binaria R en un solo conjunto A se define como un subconjunto de AxA. Para dos conjuntos distintos, A y B con cardinalidades m y n, la cardinalidad máxima de la relación R de A a B es mn.

Dominio y rango:
si hay dos conjuntos A y B y la relación de A a B es R(a,b), entonces el dominio se define como el conjunto { a | (a,b) € R para algún b en B} y Rango se define como el conjunto {b | (a,b) € R para algún a en A}.

Tipos de relación:

1. Relación Vacía: Una relación R sobre un conjunto A se llama Vacía si el conjunto A es un conjunto vacío.
2. Relación completa: una relación binaria R en un conjunto A y B se llama completa si AXB.
3. Relación reflexiva: Una relación R sobre un conjunto A se llama reflexiva si (a,a) € R se cumple para todo elemento a € A. Es decir, si el conjunto A = {a,b} entonces R = {(a,a), ( b,b)} es una relación reflexiva.
4. Relación irreflexiva: Una relación R sobre un conjunto A se llama reflexiva si no (a,a) € R se cumple para todo elemento a € Aie si el conjunto A = {a,b} entonces R = {(a,b), (b ,a)} es una relación irreflexiva.
5. Relación simétrica: Una relación R sobre un conjunto A se llama simétrica si (b,a) € R se cumple cuando (a,b) € Rie La relación R={(4,5),(5,4),(6, 5),(5,6)} en el conjunto A={4,5,6} es simétrico.
6. Relación antisimétrica: Una relación R sobre un conjunto A se llama antisimétrica si (a,b)€ R y (b,a) € R entonces a = b se llama antisimétrica. Es decir, la relación R = {(a,b)→ R |a ≤ b} es antisimétrico ya que a ≤ byb ≤ a implica a = b.
7. Relación Transitiva: Una relación R sobre un conjunto A se llama transitiva si (a,b) € R y (b,c) € R entonces (a,c) € R para todo a,b,c € Aie Relación R={ (1,2),(2,3),(1,3)} en el conjunto A={1,2,3} es transitivo.
8. Relación de equivalencia: una relación es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. es decir, relación R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1, 3),(3,1)} en el conjunto A={1,2,3} es una relación de equivalencia ya que es reflexiva, simétrica y transitiva.
9. Relación asimétrica: La relación asimétrica es opuesta a la relación simétrica. Una relación R sobre un conjunto A se llama asimétrica si no (b,a) € R cuando (a,b) € R.

Puntos importantes:
1. Las relaciones simétricas y antisimétricas no son opuestas porque una relación R puede contener ambas propiedades o no.
2. Una relación es asimétrica si y sólo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva.
3. El número de relaciones diferentes de un conjunto con n elementos a un conjunto con m elementos es 2 ^mn

Ex: 
     if R ={r1, r2, r3......rn} and S ={s1, s2, s3.....sm} 
     then Cartesian product of R and S is:
      R X S = {(r1, s1), (r1, s2), (r1, s3)........., (r1, sn), 
               (r2, s1), (r2, s2), (r2, s3).........., (r2, sn),
                ................. 
               (rn, s1),(rn, s2), (rn, s3),........., (rn, sn)}
This set of ordered pairs contains mn pairs. 
Now these pairs can be present in R X S or can be absent. 
So total number of possible relation = 2mn

4. Número de Relaciones Reflexivas en un conjunto de n elementos: 2 ^n(n-1) .

Una relación tiene pares ordenados (a,b). Ahora a puede elegirse de n maneras y lo mismo para b. Entonces el conjunto de pares ordenados contiene n ² pares. Ahora, para una relación reflexiva, (a,a) debe estar presente en estos pares ordenados. Y habrá un total de n pares de (a,a), por lo que el número de pares ordenados será n ² -n pares. Entonces, el número total de relaciones reflexivas es igual a 2 ^n(n-1) .

5. Número de relaciones simétricas en un conjunto con n elementos: 2 ^n(n+1)/2 .

Una relación tiene pares ordenados (a,b). Ahora, para una relación simétrica, si (a,b) está presente en R, entonces (b,a) debe estar presente en R.
En forma matricial, si un ₁₂ está presente en la relación, entonces un ₂₁ también está presente en la relación y Como sabemos, la relación reflexiva es parte de la relación simétrica.
Entonces, del total de n ² pares, solo se elegirán n (n + 1)/2 pares para la relación simétrica. Entonces, el número total de relaciones simétricas será 2 ^n(n+1)/2 .

6. Número de Relaciones Antisimétricas en un conjunto con n elementos: 2 ⁿ 3 ^n(n-1)/2 .

Una relación tiene pares ordenados (a,b). Para una relación antisimétrica, si (a,b) y (b,a) están presentes en la relación R, entonces a = b. (Eso significa que a está en relación consigo mismo para cualquier a).
Entonces, para (a,a), el número total de pares ordenados = n y el número total de relaciones = 2 ⁿ .

si (a,b) y (b,a) no están presentes en relación o bien (a,b) o (b,a) no están presentes en relación. Así que hay tres posibilidades y el número total de pares ordenados para esta condición es n(n-1)/2. (seleccionar un par es lo mismo que seleccionar los dos números de n sin repetición) Como tenemos que encontrar el número de pares ordenados donde a ≠ b. es como el opuesto de la relación simétrica significa el número total de pares ordenados = (n ² ) – pares ordenados simétricos (n(n+1)/2) = n(n-1)/2. Entonces, el número total de relaciones es 3 ^n(n-1)/2 . Entonces, el número total de relaciones antisimétricas es 2 ⁿ .3 ^n(n-1)/2 .

7. Número de relaciones asimétricas en un conjunto con n elementos: 3 ^n(n-1)/2 .

En Relaciones Asimétricas, el elemento a no puede estar en relación consigo mismo. (es decir, no hay una relación aRa ∀ a∈A.) Y entonces es lo mismo que las relaciones antisimétricas. (es decir, tiene tres opciones para los pares (a,b) (b,a)). Por lo tanto hay 3 ^n(n-1)/2 Relaciones Asimétricas posibles.

8. Relaciones irreflexivas sobre un conjunto de n elementos: 2 ^n(n-1) .

Una relación tiene pares ordenados (a,b). Para la relación irreflexiva, no (a,a) se cumple para cada elemento a en R. También es lo opuesto a la relación reflexiva.
Ahora, para una relación irreflexiva, (a,a) no debe estar presente en estos pares ordenados, lo que significa que el total de n pares de (a,a) no está presente en R, por lo que el número de pares ordenados será n ² -n pares.
Entonces, el número total de relaciones reflexivas es igual a 2 ^n(n-1) .

9. Relaciones reflexivas y simétricas sobre un conjunto de n elementos : 2 ^n(n-1)/2 .

Una relación tiene pares ordenados (a,b). Relaciones reflexivas y simétricas significa que (a,a) está incluido en R y los pares (a,b)(b,a) pueden estar incluidos o no. (En relación simétrica para el par (a,b)(b,a) (considerado como un par). ya sea que esté incluido en la relación o no) Por lo tanto, el número total de relaciones reflexivas y simétricas es 2 ^n(n-1)/2 .

Este artículo es una contribución de Nitika Bansal .

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