Matemáticas | Límites, Continuidad y Diferenciabilidad

1. Límites –

Para una función, $f(x)$ el límite de la función en un punto $x=a$ es el valor que alcanza la función en un punto que está muy cerca de $x=a$ .

Formalmente,
Sea $f(x)$ una función definida en algún intervalo que contenga $x=a$ , excepto que
puede no estar definida en ese punto.
Decimos que, $L = \lim_{x\to a} f(x)$ si hay un número $\delta$ para cada número $\epsilon$ tal que
$|f(x)-L| < \epsilon$ siempre que $0<|x-a|<\delta$

El concepto de límite se explica gráficamente en la siguiente imagen:
Definition of limit graphical
como queda claro en la figura anterior, el límite se puede abordar desde cualquier lado de la recta numérica, es decir, el límite se puede definir en términos de un número menor que $a$ o en términos de un número mayor que $a$ . Usando este criterio, hay dos tipos de límites: límite de la
mano izquierda: si el límite se define en términos de un número que es menor que $a$ el límite, se dice que es el límite de la mano izquierda. Se denota como $x\to a^-$ cuál es equivalente a $x=a-h$ dónde $h>0$ y $h\to 0$ .
Límite de la mano derecha: si el límite se define en términos de un número que es mayor que $a$ el límite, se dice que es el límite de la mano derecha. se denota como $x\to a^+$ que es equivalente a $x=a+h$ donde $h>0$ y $h\to 0$ .

Existencia de límite: el límite de una función $f(x)$ en $x=a$ existe solo cuando su límite izquierdo y su límite derecho existen y son iguales y tienen un valor finito, es decir
$\lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x)$

Algunos límites comunes –

$\begin{align*} &\bullet\: \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \hspace{0.5cm}& &\bullet\: \lim_{x\to 0} \cos x = 1 \hspace{0.5cm}& &\bullet\: \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1& \\ &\bullet\: \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0 \hspace{0.5cm}& &\bullet\: \lim_{x\to 0} \frac{\sin x^\circ}{x} = \frac{\pi}{180} \hspace{0.5cm}& &\bullet\: \lim_{x\to a} \frac{x^n - a^n}{x-a} = na^{n-1}& \\ &\bullet\: \lim_{x\to \infty} (1+\frac{k}{x})^{mx} = e^{mk} \hspace{0.5cm}& &\bullet\: \lim_{x\to 0} (1+x)^\frac{1}{x} = e \hspace{0.5cm}& &\bullet\: \lim_{x\to 0} \frac{(a^x-1)}{x} = \ln {a} \hspace{0.5cm}& \\ &\bullet\: \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 \hspace{0.5cm}& &\bullet\: \lim_{x\to 0} \frac{\ln {(1+x)}}{x} = 1 \hspace{0.5cm}& &\bullet\: \lim_{x\to \infty} x^\frac{1}{x} = 1 \hspace{0.5cm}& \\ \end{align}$

Regla de L’Hospital –
Si el límite dado $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ es de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ es decir, ambos $f(x)$ y $g(x)$ son 0 o ambos $f(x)$ y $g(x)$ son $\infty$ , entonces el límite puede resolverse mediante la regla de L’Hospital .
Si el límite es de la forma descrita arriba, entonces la regla de L’Hospital dice que –
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$
donde $f^\prime(x)$ y se $g^\prime(x)$ obtiene al derivar $f(x)$ y $g(x)$ .
Si después de la diferenciación, el formulario aún existe, entonces la regla se puede aplicar continuamente hasta que se cambie el formulario.

Ejemplo 1 – Evaluar $\lim_{x\to 0} \frac{x\cos{(x)}-\sin{(x)}}{x^2\sin{(x)}}$
Solución – El límite es de la forma $\frac{0}{0}$ , Usando la regla de L’Hospital y diferenciando numerador y denominador
$=\:\lim_{x\to 0} \frac{\cos{(x)}-x\sin{(x)}-\cos{(x)}}{x^2\cos{(x)} + 2x\sin{(x)}}$

$=\:\lim_{x\to 0} \frac{-\sin{(x)}}{x\cos{(x)} + 2\sin{(x)}}$

$=\:\lim_{x\to 0} \frac{\frac{-\sin{(x)}}{x}}{\cos{(x)} + \frac{2\sin{(x)}}{x}}$

$=\:\frac{-1}{1 + 2*1}$

$=\:\frac{-1}{3}$
Ejemplo 2 – Evaluar $\lim_{x\to 0}\frac{a^{mx}-b^{nx}}{\sin {kx}}$
Solución – Al multiplicar y dividir por $kx$ y reescribir el límite obtenemos –
$=\:\lim_{x\to 0}\frac{(a^{mx}-1) - (b^{nx}-1)}{kx}.\frac{kx}{\sin {kx}}$
$=\:\frac{1}{k}\lim_{x\to 0}(\frac{((a^m)^{x}-1)}{x} - \frac{((b^n)^{x}-1)}{x}).\lim_{x\to 0}\frac{kx}{\sin {kx}}$

$=\:\frac{1}{k}(\ln {a^m} -\ln {b^n}).1$

$=\:\frac{1}{k}\ln {\frac{a^m}{b^n}$

2. Continuidad –

Se dice que una función es continua en un rango si su gráfico es una sola curva continua.
Formalmente, se dice que una
función de valor real $f(x)$ es continua en un punto $x=x_\circ$ del dominio si –
$\lim_{x\to x_\circ} f(x)$ existe y es igual a $f(x_\circ)$ .
Si una función $f(x)$ es continua en $x=x_\circ$ entonces-
$\lim_{x\to x_\circ ^+} f(x) = \lim_{x\to x_\circ ^-} f(x) = \lim_{x\to x_\circ} f(x)$
Se dice que las funciones que no son continuas son discontinuas.

Ejemplo 1 – ¿Para qué valor de $\lambda$ es la función definida por
$f(x)=\left \{ \begin{tabular}{ll} \lambda(x^2-2),&\:if\:x\leq0 \\ 4x+1,& otherwise\\ \end{tabular}$

continuo en $x=0$ ?
Solución: para que la función sea continua, el límite izquierdo, el límite derecho y el valor de la función en ese punto deben ser iguales.
Valor de la función en $x=0$
$f(0) = \lambda * (0-2) = -2\lambda$
el límite derecho
$=\:\lim_{x\to 0^+} 4x+1$
$=\:1$
RHL es igual al valor de la función en 0-
$-2\lambda = 1$
$\lambda = \frac{-1}{2}$
Ejemplo 2 – Encuentra todos los puntos de discontinuidad de la función $f$ definida por –
$f(x)=|x|-|x-1|$ .
Solución: los posibles puntos de discontinuidad se deben a $x=0,1$ que el signo del módulo cambia en estos puntos.
Para continuidad en $x=0$ ,
LHL-
$=\lim_{x\to 0^-} |x|-|x-1|$
$=\lim_{x\to 0^-} -x-(-(x-1))$

$=\lim_{x\to 0^-} -x+x-1$

$= -1$
BSR
$=\lim_{x\to 0^+} |x|-|x-1|$

$=\lim_{x\to 0^+} x-(-(x-1))$

$=\lim_{x\to 0^+} x+x-1$

$= -1$
Valor de $f(x)$ at $x=0$ ,
$f(0) = 0-|0-1| = -1$
Como LHL = RHL = $f(0)$ , la función es continua en $x=0$

Para continuidad en $x=1$ ,
LHL-
$=\lim_{x\to 1^-} |x|-|x-1|$

$=\lim_{x\to 1^-} x-(-(x-1))$

$=\lim_{x\to 1^-} x+x-1$

$= 1$
BSR
$=\lim_{x\to 1^+} |x|-|x-1|$

$=\lim_{x\to 1^+} x-(x-1)$

$=\lim_{x\to 1^+} x-x+1$

$= 1$
Valor de $f(x)$ en $x=1$ ,
$f(0) = 1-|1-1| = 1$
Como LHL = RHL = $f(1)$ , la función es continua en $x=1$
Entonces, no hay punto de discontinuidad.

3. Diferenciabilidad –

La derivada de una función de valor real $f(x)$ wrt $x$ es la función $f^\prime(x)$ y se define como:
$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Se dice que una función es diferenciable si la derivada de la función existe en todos los puntos de su dominio. Para comprobar la diferenciabilidad de una función en el punto $x=c$ ,
$\lim_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ debe existir.

Si una función es diferenciable en un punto, entonces también es continua en ese punto.
Nota – Si una función es continua en un punto no implica que la función también sea derivable en ese punto. Por ejemplo, $f(x) = |x|$ es continua en $x=0$ ese punto pero no es diferenciable.

Preguntas de GATE CS Corner

Practicar las siguientes preguntas te ayudará a poner a prueba tus conocimientos. Todas las preguntas se han hecho en GATE en años anteriores o en pruebas simuladas de GATE. Es muy recomendable que los practiques.

1. GATE CS 2013, Pregunta 22
2. GATE CS 2010, Pregunta 5
3. GATE CS 2008, Pregunta 1
4. GATE CS 2007, Pregunta 1
5. GATE CS 2015 Conjunto-1, Pregunta 14
6. GATE CS 2015 Conjunto- 3, Pregunta 19
7. GATE CS 2016 Conjunto-1, Pregunta 13
8. GATE CS 1998, Pregunta 4

Referencias-

Continuidad – Wikipedia
Límites – Wikipedia
Diferenciabilidad – Wikipedia
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Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

1. Límites –

2. Continuidad –

3. Diferenciabilidad –

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