Matemáticas | Modelo de distribución de Reimann Zeta

Posted on by Rudeus Greyrat

Introducción :

Supongamos que un evento puede ocurrir varias veces dentro de una determinada unidad de tiempo. Cuando se desconoce el número total de ocurrencias del evento, podemos considerarlo como una variable aleatoria. Cuando una variable aleatoria X toma valores en un intervalo de tiempo discreto de 1 a infinito, una opción de densidad de probabilidad es la distribución Reimann Zeta, cuya función de densidad de probabilidad viene dada por:

f(x) = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)}x^{-(\alpha+1)}

La expresión anterior será aplicable solo cuando se den las siguientes condiciones.

 x = 1,2,3,....    . 
 f(x) = 0, Otherwise

Donde,  \alpha  es el parámetro y  \zeta(\alpha+1)  es el valor de la función zeta, definida por como sigue.

\zeta(y) = 1+(\frac{1}{2})^y+ (\frac{1}{3})^y+(\frac{1}{4})^y + ...... +  (\frac{1}{n})^y = \Sigma_{k=1}^{\infty} k^{-y}

La variable aleatoria X que sigue la distribución Zeta de Reimann se representa de la siguiente manera.

X ~ RIE(\alpha    )

Valor esperado :

El valor esperado de la distribución Reimann Zeta se puede encontrar sumando productos de valores con sus respectivas probabilidades de la siguiente manera.

\mu = E(X) = \Sigma_{x=-\infty}^{\infty} x.f(x)
\mu = \Sigma_{x=1}^{\infty} x.\frac{1}{\zeta(\alpha+1)}.x^{-(\alpha+1)}
\mu = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)}\Sigma_{x=1}^{\infty} x^{-\alpha}

Usando la propiedad  \zeta(y) = \Sigma_{k=1}^{\infty} k^{-y} , obtenemos la siguiente expresión de la siguiente manera.

\mu = \frac{\zeta(\alpha)}{\zeta(\alpha+1)}

Varianza y desviación estándar: 

La varianza de la distribución Riemann Zeta se puede encontrar utilizando la fórmula de varianza de la siguiente manera.

σ^2 = E( X − μ )^2 = E( X^2 ) − μ^2
E(X^2) = \Sigma^{\infty}_{x=-\infty} x^2.f(x) 
E(X^2) = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)} \Sigma_{x=1}^{\infty} x^2.x^{-(\alpha+1)}
E(X^2) = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)} \Sigma_{x=1}^{\infty} x^{1-\alpha}

Usando la propiedad  \zeta(y) = \Sigma_{k=1}^{\infty} k^{-y} , obtenemos la siguiente expresión de la siguiente manera.

E(X^2) = \frac{\zeta(\alpha-1)}{\zeta(\alpha+1)}
So, Var(X) = E(X^2) - \mu^2
Var (X) = (\frac{\zeta(\alpha-1)}{\zeta(\alpha+1)})^2 - (\frac{\zeta(\alpha)}{\zeta(\alpha+1)})^2
Var(X) = \sigma^2 = \frac{[\zeta(\alpha-1)]^2 - [\zeta(\alpha)]^2}{[\zeta(\alpha+1)]^2}

La desviación estándar viene dada por como sigue.

\sigma = \frac{1}{\zeta(\alpha+1)} \sqrt{[\zeta(\alpha-1)]^2 - [\zeta(\alpha)]^2}

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por img2018033 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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