Matemáticas | Probabilidad

La probabilidad se refiere al grado de ocurrencia de los eventos. Cuando ocurre un evento como lanzar una pelota, sacar una carta del mazo, etc., entonces debe haber alguna probabilidad asociada con ese evento. En términos matemáticos, la probabilidad se refiere a la relación entre los resultados deseados y el número total de resultados posibles. Hay tres enfoques de la teoría de la probabilidad, a saber:

1. Enfoque empírico
2. Enfoque clásico
3. Enfoque axiomático

En este artículo, vamos a estudiar sobre el enfoque axiomático. En este enfoque, representamos la probabilidad en términos de espacio muestral (S) y otros términos. Terminologías básicas:

• Evento aleatorio: si la repetición de un experimento ocurre varias veces en condiciones similares, si no produce el mismo resultado cada vez, pero el resultado en un ensayo es uno de los varios resultados posibles, entonces dicho experimento se llama evento aleatorio o un evento probabilístico.
• Evento elemental: el evento elemental se refiere al resultado de cada evento aleatorio realizado. Siempre que se realiza el evento aleatorio, cada resultado asociado se conoce como evento elemental.
• Espacio de muestra: el espacio de muestra se refiere al conjunto de todos los resultados posibles de un evento aleatorio. Por ejemplo, cuando se lanza una moneda, los resultados posibles son cara y cruz.
• Evento: un evento se refiere al subconjunto del espacio muestral asociado con un evento aleatorio.
• Ocurrencia de un evento: se dice que ocurre un evento asociado con un evento aleatorio si cualquiera de los eventos elementales que le pertenecen es un resultado.
• Evento seguro: se dice que un evento asociado con un evento aleatorio es un evento seguro si siempre ocurre cada vez que se realiza el evento aleatorio.
• Evento imposible: se dice que un evento asociado con un evento aleatorio es un evento imposible si nunca ocurre cada vez que se realiza el evento aleatorio.
• Evento compuesto: se dice que un evento asociado con un evento aleatorio es un evento compuesto si es la unión separada de dos o más eventos elementales.
• Eventos mutuamente excluyentes: se dice que dos o más eventos asociados con un evento aleatorio son eventos mutuamente excluyentes si cualquiera de los eventos ocurre, evita la ocurrencia de todos los demás eventos. Esto significa que no pueden ocurrir dos o más eventos simultáneamente Mismo tiempo.
• Eventos exhaustivos: se dice que dos o más eventos asociados con un evento aleatorio son eventos exhaustivos si su unión es el espacio muestral.

Probabilidad de un evento: si hay un total de p resultados posibles asociados con un experimento aleatorio y q de ellos son resultados favorables para el evento A, entonces la probabilidad del evento A se denota por P(A) y viene dada por

 P(A) = q/p 

La probabilidad de que no ocurra el evento A, es decir, P(A’) = 1 – P(A) Nota –

• Si el valor de P(A) = 1, entonces el evento A se llama evento seguro.
• Si el valor de P(A) = 0, entonces el evento A se llama evento imposible.
• Además, P(A) + P(A’) = 1

Teoremas:

• General – Sean A, B, C los eventos asociados con un experimento aleatorio, entonces
  1. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
  2. P(A∪B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyentes
  3. P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C)- P(C∩A) + P(A∩B) ∩C)
  4. P(A∩B’) = P(A) – P(A∩B)
  5. P(A’∩B) = P(B) – P(A∩B)
• Extensión del Teorema de la Multiplicación – Sean A ₁ , A ₂ , ….., A _n n eventos asociados con un experimento aleatorio, entonces P(A ₁ ∩A ₂ ∩A ₃ ….. A _n ) = P(A ₁ ) P(A ₂ /A ₁ )P(A ₃ /A ₂ ∩A ₁ ) ….. P(A _n /A ₁ ∩A ₂ ∩A ₃ ∩ ….. ∩A _n-1 )

Ejemplo-1: Una bolsa contiene 10 naranjas y 20 manzanas de las cuales 5 manzanas y 3 naranjas son defectuosas. Si una persona saca dos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean buenas o ambas sean manzanas? Solución: de 30 artículos, dos pueden seleccionarse de ³⁰ C ₂ maneras. Así, Total de eventos elementales = ³⁰ C ₂ . Considere los eventos: A = Obtener dos manzanas B = Obtener dos artículos buenos La probabilidad requerida es: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) …(i) Hay 20 manzanas , de los cuales 2 pueden extraerse en ²⁰ C ₂ formas . P(A) = ²⁰ C ₂ / ³⁰ C ₂Hay 8 artículos defectuosos y 22 son buenos. De 22 artículos buenos, dos se pueden dibujar de ²² C ₂ maneras. P(B) = ²² C ₂ / ³⁰ C ₂ Dado que hay 15 artículos que son buenas manzanas, de los cuales 2 se pueden seleccionar de ¹⁵ C ₂ maneras. P(A∩B) = ¹⁵ C ₂ / ³⁰ C ₂ Sustituyendo los valores de P(A), P(B) y P(A∩B) en (i) La probabilidad requerida es = ( ²⁰ C ₂ / ³⁰ C ₂ ) + ( ²² C ₂ / ³⁰ C ₂) – ( ^​​15 C ₂ / ³⁰ C ₂ ) = 316/435 Ejemplo-2: La probabilidad de que una persona obtenga un contrato de electricidad es 2/5 y la probabilidad de que no obtenga un contrato de plomería es 4/7. Si la probabilidad de obtener al menos un contacto es 2/3, ¿cuál es la probabilidad de obtener ambos? Solución: Considere los dos eventos: A = La persona obtiene el contrato de electricidad B = La persona obtiene el contrato de plomería Tenemos, P(A) = 2/5 P(B’) = 4/7 P(A∪B) = 2/3 Ahora , P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(A∪B) = (2/5) + (1 – 4/7) – (2/3) = 17/105 Ley Total de probabilidad – Sea S el espacio muestral asociado con un experimento aleatorio y E ₁ , E ₂ , …, E _nser n eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos asociados con el experimento aleatorio. Si A es cualquier evento que ocurre con E ₁ o E ₂ o … o E _n , entonces

P(A) = P(E1)P(A/E1) + P(E2)P(A/E2) + ... +  P(En)P(A/En)

Ejemplo-1: Una bolsa contiene 3 bolas negras y 4 bolas rojas. Una segunda bolsa contiene 4 bolas negras y 2 bolas rojas. Se selecciona una bolsa al azar. De la bolsa seleccionada, se extrae una bola. Halla la probabilidad de que la bola extraída sea roja. Solución: Una bola roja se puede sacar de dos maneras:

1. Seleccionando la bolsa I y luego sacando una bola roja de ella.
2. Seleccionando la bolsa II y luego sacando una bola roja de ella.

Sean E ₁ , E ₂ y A los eventos definidos de la siguiente manera : E ₁ = Seleccionar bolsa IE ₂ = Seleccionar bolsa II A = Sacar bola roja Desde seleccionar una de las dos bolsas al azar . P(E ₁ ) = 1/2 P(E ₂ ) = 1/2 Ahora, la probabilidad de sacar una bola roja cuando se ha elegido la primera bolsa P(A/E ₁ ) = 4/7 y la probabilidad de sacar una bola roja cuando se ha elegido la segunda bolsa P(A/E ₂ ) = 2/6 Usando la ley de probabilidad total, tenemos P(A) = P(E ₁ )P(A/E ₁ ) + P(E ₂ )P(A /E ₂ ) = (1/2)(4/7) + (1/2)(2/6) = 19/42 Por lo tanto, la probabilidad de sacar una bola roja es 19/42 Ejemplo-2: En una fábrica de bombillas, tres máquinas, a saber, A, B, C, producen el 25 %, el 35 % y el 40 % del total de bombillas, respectivamente. De su producción, 5, 4 y 2 por ciento son bombillas defectuosas respectivamente. Se extrae una bombilla al azar de los productos. ¿Cuál es la probabilidad de que la bombilla extraída sea defectuosa? Solución: Sean E ₁ , E ₂ , E ₃ y A los eventos definidos de la siguiente manera: E ₁ = La bombilla es fabricada por la máquina AE ₂ = La bombilla es fabricada por la máquina BE ₃ = La bombilla es fabricada por la máquina CA = La la bombilla está defectuosa De acuerdo con las condiciones dadas; P(E ₁ ) = 25/100 P(E ₂ ) = 35/100 P(E ₃) = 40/100 Ahora, probabilidad de que la bombilla esté defectuosa dado que es producida por la Máquina AP(A/E ₁ ) = 5/100 y, probabilidad de que la bombilla esté defectuosa dado que es producida por la Máquina BP(A/E ₂ ) = 4/100 y, probabilidad de que la bombilla esté defectuosa dado que es producida por la Máquina CP(A/E ₃ ) = 2/100 Usando la ley de probabilidad total, tenemos P(A) = P(E ₁ )P( A/E ₁ ) + P(E ₂ )P(A/E ₂ ) + P(E ₃ )P(A/E ₃ ) = (25/100)(5/100) + (35/100)(4 /100) + (40/100)(2/100) = 0,0345 Por lo tanto, la probabilidad de que la bombilla esté defectuosa es 0,0345