Matemáticas | Sucesiones, Series y Sumatorias

SECUENCIA:

Es un conjunto de números en un orden definido de acuerdo con alguna regla (o reglas) definida.
Cada número del conjunto se llama término de la sucesión y su longitud es el número de términos que contiene. Podemos escribir la secuencia como $\{a_n\}}_{n=1}^{\infty} or a_n$ . Una sucesión finita generalmente se describe mediante un ₁ , un ₂ , un ₃ …. a _n , y una sucesión infinita se describe mediante a ₁ , a ₂ , a ₃ …. hasta el infinito. Una secuencia {a _n } tiene el límite L y escribimos $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L$ o ${a_n\to\L}$ como ${n\to\infty}$ .
Por ejemplo:

2, 4, 6, 8 ...., 20 is a finite sequence obtained by adding 2 to the previous number.
10, 6, 2, -2, ..... is an infinite sequence obtained by subtracting 4 from the previous number.

Si los términos de una sucesión se pueden describir mediante una fórmula, entonces la sucesión se llama progresión .

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ....., is a progression called the Fibonacci sequence in which each term 
is the sum of the previous two numbers.

Más sobre progresiones

Teoremas:

Teorema 1 : dada la sucesión $\{a_n\}$ si tenemos una función f(x) tal que f(n) = $a_n$ y $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ entonces $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L.$ Este teorema básicamente nos dice que tomamos los límites de las sucesiones de la misma manera que tomamos el límite de las funciones.

Teorema 2 (Teorema de compresión) : si $a_n\leq c_n\leq b_n$ para todo n > N para algún N y $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L$ luego $\lim_{n\to\infty} c_n = L.$

Teorema 3 : Si $\lim_{n\to\infty}\mid a_n\mid = 0$ entonces $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ . Tenga en cuenta que para que este teorema se cumpla, el límite DEBE ser cero y no funcionará para una secuencia cuyo límite no sea cero.

Teorema 4 : Si $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L$ y la función f es continua en L , entonces $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(a_n) = f(L)$

Teorema 5 : La sucesión ${r^n}$ es convergente si $-1 < r \leq 1$ y divergente para
todos los demás valores de r. Además,

este teorema es un teorema útil que da la convergencia/divergencia y el valor (para cuando es convergente) de una secuencia que surge en ocasiones.

Propiedades:

Si $(a_n)$ y $(b_n)$ son sucesiones convergentes, se cumplen las siguientes propiedades:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\ \pm \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} ca_n = c\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n b_n) = \Big(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\Big)\Big(\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n\Big)$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} {a_n}^p = \Big[\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\Big]^p$ previsto $a_n \geq 0$

Y la última propiedad es

SERIE:

Una serie es simplemente la suma de los diversos términos de una sucesión.
Si la sucesión es $a_1, a_2, a_3, ....a_n$ la expresión $a_1 + a_2 + a_3 + ....+ a_n$ se llama la serie asociada a ella. Una serie está representada por ‘S’ o el símbolo griego $\displaystyle\sum_{n=1}^{n}a_n$ . La serie puede ser finita o infinita.
Ejemplos:

5 + 2 + (-1) + (-4) is a finite series obtained by subtracting 3 from the previous number.
1 + 1 + 2 + 3 + 5 is an infinite series called the Fibonacci series obtained from the 
Fibonacci sequence.

Si la sucesión de sumas parciales es una sucesión convergente (es decir, su límite existe y es finito), entonces la serie también se llama convergente, es decir, si $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = L$ entonces $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} a_n = L$ . Asimismo, si la secuencia de sumas parciales es una secuencia divergente (es decir, si $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ su límite no existe o es más o menos infinito), entonces la serie también se llama divergente.

Propiedades:

Si $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} a_n = A$ y $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} b_n = B$ son series convergentes entonces $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} (a_n + b_n) = A + B$

Si $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} a_n = A$ y $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} b_n = B$ son series convergentes entonces $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} (a_n - b_n) = A - B$

Si $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} a_n = A$ es una serie convergente entonces $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} ca_n = cA$

Si $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} a_n = A$ y $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} b_n = B$ son series convergentes entonces si $a_n\leq b_n$ para todo n $\in$ N entonces $A\leq B$

Teoremas:

Teorema 1 (Prueba de comparación) : Supongamos $0\leq a_n\leq b_n$ para $n\geq k$ alguna k. Entonces
(1) La convergencia de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} b_n$ implica la convergencia de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} a_n.$
(2) La convergencia de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} a_n$ implica la convergencia de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty} b_n.$

Teorema 2 (prueba de comparación de límites) : Sea $a_n\geq 0$ y $b_n > 0$ , y suponga que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = L > 0$ . Entonces $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty} a_n$ converge si y solo si $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty} b_n$ converge.

Teorema 3 (Prueba de la razón) : Suponga que existe el siguiente límite, $M = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n+1|}{|a_n|}$ . Entonces,
(1) Si $M < 1 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ converge
(2) Si $M > 1 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ diverge
(3) Si $M = 1 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ podría converger o divergir

Teorema 4 (Prueba de raíz) : Suponga que existe el siguiente límite:, $M = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ . Entonces,
(1) Si $M < 1 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ converge
(2) Si $M > 1 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ diverge
(3) Si $M = 1 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ podría converger o divergir

Teorema 5 (Prueba de convergencia absoluta) : Se dice que una serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty}a_n$ es absolutamente convergente si la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty}|a_n|$ converge.

Teorema 6 (Prueba de convergencia condicional) : Se dice que una serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty}a_n$ es condicionalmente convergente si la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty}|a_n|$ diverge pero la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty}a_n$ converge.

Teorema 7 (Prueba de series alternas) : Si $a_0\geq a_1\geq a_2\geq ....\geq 0$ , y $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = 0$ , la ‘serie alterna’ $a_0-a_1+a_2-a_3+.... = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty}(-1)^n a_n$ convergerá.

Serie de preguntas

RESUMENES:

La suma es la adición de una secuencia de números. Es una forma abreviada conveniente y simple que se usa para dar una expresión concisa para la suma de los valores de una variable.
El símbolo de suma $\displaystyle\sum_{i=m}^{n} a_i$ , nos instruye a sumar los elementos de una secuencia. Un elemento típico de la secuencia que se está sumando aparece a la derecha del signo de suma.

Propiedades:

$\displaystyle\sum_{i=m}^{n} ca_i = c\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i$ donde c es cualquier número. Entonces, podemos factorizar constantes a partir de una suma.

$\displaystyle\sum_{i=m}^{n} (a_i\pm b_i) = \displaystyle\sum_{i=m}^{n} a_i \pm\displaystyle\sum_{i=m}^{n} b_i$ Entonces podemos descomponer una suma en una suma o diferencia.

Tenga en cuenta que si bien podemos dividir sumas y diferencias como se mencionó anteriormente, no podemos hacer lo mismo con productos y cocientes. En otras palabras,

$\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_i = \displaystyle\sum_{i=m}^{j}a_i +\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_i$ , para cualquier número natural $m\leq j < j + 1\leq n$ .

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}c = c+c+c+c....+(n\ times) = nc$ . Si el argumento de la suma es una constante, entonces la suma es el valor del rango límite multiplicado por la constante.

Ejemplos:

1) Sum of first n natural numbers: .

2) Sum of squares of first n natural numbers: 
.

3) Sum of cubes of first n natural numbers: 
.

4) The property of logarithms: 
.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prakhar7 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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