Matemáticas | Sistema de Ecuaciones Lineales

  

Traza de una array: 
Sea A=[a _ij ] _nxn una array cuadrada de orden n, entonces la suma de los elementos de la diagonal se llama la traza de una array que se denota por tr(A). tr(A) = un ₁₁ + un ₂₂ + un ₃₃ + ……….+ un _nn 

Propiedades de la traza de array: 
Sean A y B cualesquiera dos arrays cuadradas de orden n, entonces 
 

1. tr(kA) = k tr(A) donde k es un escalar.
2. tr(A+B) = tr(A)+tr(B)
3. tr(AB) = tr(A)-tr(B)
4. tr(AB) = tr(BA)

Solución de un sistema de ecuaciones lineales: 
Las ecuaciones lineales pueden tener tres tipos de posibles soluciones: 
 

• Sin solución
• Solución única
• Solución Infinita

Rango de una array: El rango de la array es el número de filas distintas de cero en la forma reducida de filas o el número máximo de filas independientes o el número máximo de columnas independientes. 
Sea A cualquier array mxn y tiene subarrays cuadradas de diferente orden. Se dice que una array es de rango r, si cumple las siguientes propiedades: 
 

1. Tiene al menos una subarrays cuadradas de orden r que tiene determinante distinto de cero.
2. Todos los determinantes de subarrays cuadradas de orden (r+1) o mayor que r son cero.

El rango se denota como P(A).  
si A es una array no singular de orden n, entonces el rango de A = n, es decir, P(A) = n. 

Propiedades de rango de una array: 
 

1. Si A es una array nula, entonces P(A) = 0, es decir, el rango de la array nula es cero.
2. Si I _n es la array unitaria nxn entonces P(A) = n.
3. Rango de una array A mxn , P(A) ≤ min(m,n). Así P(A) ≤m y P(A) ≤ n.
4. P(A _nxn ) = n si |A| ≠ 0
5. Si P(A) = m y P(B)=n entonces P(AB) ≤ min(m,n).
6. Si A y B son arrays cuadradas de orden n, entonces P(AB) ? P(A) + P(B) – norte.
7. Si A _m×1 es una array de columna distinta de cero y B _1×n es una array de fila distinta de cero, entonces P(AB) = 1.
8. El rango de una array simétrica oblicua no puede ser igual a uno.

Sistema de ecuaciones lineales homogéneas AX = 0 . 
 

1. X = 0. es siempre una solución; significa que todas las incógnitas tienen el mismo valor que cero. (Esto también se llama solución trivial)
2. Si P(A) = número de incógnitas, solución única.
3. Si P(A) < número de incógnitas, infinito número de soluciones.

Sistema de ecuaciones lineales no homogéneas AX = B . 
 

1. Si P[A:B] ≠P(A), Sin solución.
2. Si P[A:B] = P(A) = el número de variables desconocidas, solución única.
3. Si P[A:B] = P(A) ≠ número de incógnitas, número infinito de soluciones.

Aquí P[A:B] es el rango de la representación de eliminación de Gauss de AX = B. 
Hay dos estados del sistema de ecuaciones lineales: 
 

• Estado consistente: un sistema de ecuaciones que tiene una o más soluciones se denomina sistema de ecuaciones consistente.
• Estado inconsistente: un sistema de ecuaciones que no tiene soluciones se llama sistema de ecuaciones inconsistente.

Dependencia lineal e Independencia lineal del vector: 

Dependencia lineal: Se dice que un conjunto de vectores X ₁ ,X ₂ ….X _r es linealmente dependiente si existen r escalares k ₁ ,k ₂ …..k _r tales que: k ₁ X ₁ + k ₂ X ₂ + ……..k _r X _r = 0. 

Independencia lineal: Se dice que un conjunto de vectores X ₁ ,X ₂ ….X _r es linealmente independiente si para todos los r escalares k ₁ ,k ₂ …..k _r tal que k ₁ X ₁ + k ₂ X ₂ +… …..k _r X _r = 0, entonces k ₁ = k ₂ =……. = k _r = 0. 
¿Cómo determinar la dependencia e independencia lineal?  
Sean X ₁ , X ₂ ….X _r los vectores dados. Construya una array con los vectores dados como sus filas. 
 

1. Si el rango de la array de los vectores dados es menor que el número de vectores, entonces los vectores son linealmente dependientes.
2. Si el rango de la array de los vectores dados es igual al número de vectores, entonces los vectores son linealmente independientes.

Referencia: 
http://www.dr-eriksen.no/teaching/GRA6035/2010/lecture2-hand.pdf 

Este artículo es una contribución de Nitika Bansal .