El vector propio de una array A es un vector representado por una array X tal que cuando X se multiplica por la array A, la dirección de la array resultante sigue siendo la misma que la del vector X.
Matemáticamente, la declaración anterior se puede representar como:
hacha =
donde A es cualquier array arbitraria,
Aquí podemos ver que AX es paralelo a X. Entonces, X es un vector propio.
Método para encontrar vectores propios y valores propios de cualquier array cuadrada A
Sabemos que,
AX = λX
=> AX – λX = 0
=> (A – λI) X = 0 …..(1)
(2) se conoce como ecuación característica de la array.
Las raíces de la ecuación característica son los valores propios de la array A.
Ahora, para encontrar los vectores propios, simplemente colocamos cada valor propio en (1) y lo resolvemos por eliminación gaussiana, es decir, convertimos la array aumentada (A – λI) = 0 en forma escalonada por filas y resolvemos el sistema lineal de ecuaciones así obtenido.
Algunas propiedades importantes de los valores propios
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Los valores propios de arrays reales simétricas y hermíticas son reales
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Los valores propios de las arrays hermíticas sesgadas y simétricas sesgadas reales son imaginarias puras o cero
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Los valores propios de arrays unitarias y ortogonales son de módulo unitario |λ| = 1
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Si λ 1, λ 2 …….λ n son los valores propios de A, entonces kλ 1 , kλ 2 …….kλ n son los valores propios de kA
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Si λ 1, λ 2 …….λ n son los valores propios de A, entonces 1/λ 1 , 1/λ 2 …….1/λ n son los valores propios de A -1
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Si λ 1, λ 2 …….λ n son los valores propios de A, entonces λ 1 k , λ 2 k …….λ n k son los valores propios de A k
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Valores propios de A = Valores propios de A T (transposición)
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Suma de valores propios = Traza de A (Suma de elementos diagonales de A)
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Producto de valores propios = |A|
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Número máximo de valores propios distintos de A = Tamaño de A
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Si A y B son dos arrays del mismo orden, los valores propios de AB = valores propios de BA
Este artículo ha sido contribuido por Saurabh Sharma.
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Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA