Matemáticas | Variables aleatorias

La variable aleatoria es básicamente una función que se asigna desde el conjunto del espacio muestral al conjunto de números reales. El propósito es tener una idea sobre el resultado de una situación particular en la que se nos dan probabilidades de diferentes resultados. Vea el siguiente ejemplo para mayor claridad.

Ejemplo :

Suppose that two coins (unbiased) are tossed 

X = number of heads. [X is a random variable 
                                or function]

Here, the sample space S = {HH, HT, TH, TT}. 

The output of the function will be :
      X(HH) = 2
      X(HT) = 1
      X(TH) = 1
      X(TT) = 0

Definición formal:
X: S -> R
X = variable aleatoria (generalmente se denota con letras mayúsculas)
S = conjunto de espacio muestral
R = conjunto de números reales

Supongamos que una variable aleatoria X toma m valores diferentes, es decir, el espacio muestral X = {x1, x2, x3………xm} con probabilidades P(X=xi) = pi; donde 1 ≤ yo ≤ m. Las probabilidades deben satisfacer las siguientes condiciones:

1. 0 <= pi <= 1; donde 1 <= yo <= metro
2. p1 + p2 + p3 + ……. + pm = 1 O podemos decir 0 ≤ pi ≤ 1 y ∑pi = 1.

Por lo tanto, los valores posibles para la variable aleatoria X son 0, 1, 2.
X = {0, 1, 2} donde m = 3
P(X=0) = probabilidad de que el número de cabezas sea 0 = P(TT) = 1/2 *1/2 = 1⁄4.
P(X=1) = probabilidad de que el número de caras sea 1 = P(HT | TH) = 1/2*1/2 + 1/2*1/2 = 1⁄2.
P(X=2) = probabilidad de que el número de caras sea 2 = P(HH) = 1/2*1/2 = 1⁄4.

Aquí puedes observar que
1) 0 ≤ p1, p2, p3 ≤ 1
2) p1 + p2 + p3 = 1/4 + 2/4 + 1/4 = 1

Ejemplo:
supongamos que se lanza un dado X = resultado de los dados. Aquí, el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La salida de la función será:

1. P(X=1) = 1/6
2. P(X=2) = 1/6
3. P(X=3) = 1/6
4. P(X=4) = 1/6
5. P(X=5) = 1/6
6. P(X=6) = 1/6

Vea si hay alguna variable aleatoria, entonces debe haber alguna distribución asociada con ella.

Variable aleatoria discreta:

Se dice que una variable aleatoria X es discreta si toma un número finito de valores. La función de probabilidad asociada con ella se dice que es PMF = función de masa de probabilidad.
P(xi) = Probabilidad de que X = xi = PMF de X = pi.

1. 0 ≤ pi ≤ 1.
2. ∑pi = 1 donde se toma la suma de todos los valores posibles de x.

Los ejemplos dados arriba son variables aleatorias discretas.

Ejemplo:- Sea S = {0, 1, 2}

Encuentra el valor de P (X=0) :
Sol:- Sabemos que la suma de todas las probabilidades es igual a 1.
==> p1 + p2 + p3 = 1
==> p1 + 0.3 + 0.5 = 1
==> p1 = 0,2

Variable aleatoria continua:

Se dice que una variable aleatoria X es continua si toma un número infinito de valores. La función de probabilidad asociada a ella se dice que es PDF = Función de densidad de probabilidad
PDF: Si X es una variable aleatoria continua.
P (x < X < x + dx) = f(x)*dx.

1. 0 ≤ f(x) ≤ 1; para todos x
2. ∫ f(x) dx = 1 sobre todos los valores de x

Entonces se dice que P (X) es PDF de la distribución.

Ejemplo: – Calcular el valor de P (1 < X < 2).

Such that f(x) = k*x^3; 0 ≤ x ≤ 3
                = 0; otherwise
f(x) is a density function

Solución: – Si se dice que una función f es una función de densidad, entonces la suma de todas las probabilidades es igual a 1. Dado que es una variable aleatoria continua, el valor integral es 1 espacio de muestra general s.
==> K*[x^4]/4 = 1 [Tenga en cuenta que [x^4]/4 es integral de x^3]
==> K*[3^4 – 0^4]/4 = 1
= => K = 4/81
El valor de P (1 < X < 2) = k*[X^4]/4 = 4/81 * [16-1]/4 = 15/81.

Próximo tema :
Linealidad de la expectativa

El artículo es una contribución de Anil Saikrishna Devarasetty.
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