La estadística es el estudio de la recopilación, presentación, evaluación, interpretación y administración de datos. Los datos recopilados son analizados e interpretados y utilizados por varias partes interesadas. Dado que es difícil para cualquiera comprender y recordar un gran grupo de datos, se utilizan medidas de Tendencia Central. Ayuda a encontrar un valor representativo para los datos dados.
Mediana
La mediana es un valor ubicado en el centro que divide la distribución en dos partes iguales, una que incluye todos los valores mayores o iguales a la mediana y la otra que contiene todos los valores menores o iguales a ella. La mediana es el elemento «medio» cuando el conjunto de datos se organiza en orden de magnitud. Como la mediana se establece por la posición de varios valores, no se ve afectada si aumenta el tamaño del valor más grande. Los datos u observaciones pueden organizarse en orden ascendente o descendente.
Fórmula para la mediana
En Estadística, la mediana está representada por M. El valor de la mediana se calcula organizando los datos en orden ascendente o descendente.
Fórmula:
M = Tamaño de (N + 1) th /2 artículo
Cálculo de la mediana
Una mediana es un número que divide un dato o población por la mitad. Dependiendo del tipo de distribución, la mediana difiere. Al ordenar los datos de menor a mayor e identificar el valor medio, la mediana puede estimarse simplemente.
(i) Serie Individual y Mediana:
Ejemplo: Tengamos la siguiente observación en un conjunto de datos: 15, 17, 26, 11, 8, 20, 22, 14 y 23.
Organicemos el conjunto de datos dado en orden ascendente: 8, 11, 14, 15, 17 , 20, 22, 23, 26.
Posición de la mediana = (N + 1) th /2 elemento.
Mediana= (9 + 1) th /2 artículo
= 10/2=5
Entonces, el quinto término es 17, que es la mediana.
(Nota: Además, aquí el valor medio es «17», por lo que la mitad de las puntuaciones son mayores que 17 y la otra mitad son menores. Si los datos contienen números pares, habrá dos observaciones en el centro. En este ejemplo , la mediana se calcula como la media aritmética de los dos números del medio).
Ejemplo: Los siguientes datos tienen notas para 10 estudiantes: 25, 27, 36, 21, 18, 30, 22, 24, 13 y 28. Calcula la mediana de las notas.
Organicemos el conjunto de datos dado en orden ascendente: 13, 18, 21, 22, 24 , 25 , 27, 28, 30, 36.
Como podemos ver, hay dos observaciones en el medio, 24 y 25. Tomando la media de estas dos observaciones se obtiene la mediana.
Mediana = 24 + 25/2 = 24,5
Por lo tanto la mediana es 24.5
- Para determinar la mediana, se debe conocer la posición de la mediana, es decir, el artículo o los artículos en los que se encuentra la mediana. La posición mediana se puede calcular usando la siguiente fórmula:
Posición de la mediana = (N + 1) th /2 elemento.
Aquí, N = número de elementos.
(ii) Serie discreta y mediana:
En el caso de series discretas, la frecuencia acumulada se puede utilizar para ubicar la mediana, es decir, el (N + 1)/ 2º elemento. El valor mediano es el valor comparable en este lugar.
Ejemplo: La distribución de frecuencia de la frecuencia y sus intervalos de clase (ingresos en Rs) se dan a continuación. Calcular el ingreso medio.
| Intervalo de clases | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
| Frecuencia | 5 | 10 | 15 | 8 | 12 |
La distribución de frecuencias que se muestra a continuación se puede utilizar para obtener el ingreso medio.
|
Cálculo de la mediana en series discretas |
||
| Intervalo de clases | Frecuencia (f) | Frecuencia acumulada (cf) |
| 10 | 5 | 5 |
| 20 | 10 | 15 |
| 30 | 15 | 30 |
| 40 | 08 | 38 |
| 50 | 12 | 50 |
Aquí la mediana se encuentra en la (N + 1)/2 = (50 + 1)/2 = 25,5 observación. Esto se puede encontrar fácilmente usando la frecuencia acumulada. La observación 25.5 se encuentra en el cf de 30. El ingreso en el intervalo de clase relevante es de 30 rupias, por lo tanto, el ingreso medio es de 30 rupias.
(iii) Serie de Distribución de Frecuencias y Serie Mediana/Continua
En la serie continua, tenemos que ubicar la clase mediana donde se encuentra el elemento N/2 [ no (N+1)/2 elemento ]. Entonces, la mediana se puede dar de la siguiente manera:
M = L + (N/2 – cf)/f × h
Dónde
L denota el límite inferior de la clase mediana
cf representa la frecuencia acumulada de la clase precedente antes de la clase mediana,
f denota la frecuencia de la clase mediana,
La magnitud del intervalo de clase mediano viene dada por h.
Ejemplo: La siguiente tabla contiene información sobre las calificaciones obtenidas por los estudiantes en una clase. Calcular la mediana de las notas.
| Marcas obtenidas | Estudiantes |
| 10-20 | 10 |
| 20-40 | 5 |
| 40-60 | 20 |
| 60-80 | 15 |
| 80-100 | 5 |
Como los datos dados se organizan en orden ascendente. La clase mediana es el valor de (N/2) segundo elemento (es decir, 55/2) = 27,5 elemento de la serie, que se encuentra en el intervalo de clase 40–60.
| Cálculo de la mediana en series continuas | ||
| Marcas obtenidas | Estudiantes (f) | Frecuencia acumulada (cf) |
| 10-20 | 10 | 10 |
| 20-40 | 5 | 15 |
| 40-60 | 20 | 35 |
| 60-80 | 15 | 50 |
| 80-100 | 5 | 55 |
Aplicando la fórmula de la mediana como:
Mediana = L + (N/2 – cf)/f × h
Aquí L = 40, N/2= 27.5, cf =15, f= 20 y h = 60-40
= 40 + (27,5 – 15)/20 × (60-40)
= 52,5
Así, la mediana de las notas es 52,5. Esto significa que el 50% de los estudiantes obtienen menos o igual a 52,5 puntos, y el 50% de los estudiantes obtienen más o igual a estos puntos.
Méritos de la mediana
Es una de las medidas más fáciles y ampliamente utilizadas de Tendencia Central. Algunos de los méritos de Median son los siguientes:
- Simple: Es una de las medidas de tendencia central más simples . Es bastante simple de calcular y entender. Se puede calcular fácilmente mediante inspección en el caso de series estadísticas simples.
- Insensible a los valores extremos: Los valores extremos tienen poco efecto sobre la mediana. No se ve afectado por el número de series.
- Representación gráfica: la mediana se puede presentar gráficamente, lo que hace que los datos sean más presentables y comprensibles.
- Datos cualitativos: cuando se trata de datos cualitativos, el promedio óptimo a utilizar es la mediana.
- Útil en caso de datos incompletos o típicos: la mediana se usa incluso en caso de datos incompletos, ya que la mediana se puede calcular incluso si se conoce el número de elementos y el elemento/elementos intermedios de una serie. La mediana se usa frecuentemente para expresar una observación típica. Está influenciado principalmente por el número de observaciones más que por su magnitud.
Deméritos de la mediana
Los deméritos de Median son los siguientes:
- Disposición de los datos: los datos proporcionados deben organizarse en orden ascendente o descendente para calcular la mediana, lo que puede ser una tarea que requiere mucho tiempo.
- Falta de carácter representativo: la mediana no representa una medida de una serie en la que los valores están muy separados.
- Impredecible: cuando el número de objetos es mínimo, la mediana es impredecible, lo que no representa la imagen real de los datos.
- Afectado por las fluctuaciones: Las fluctuaciones de muestreo tienen un impacto significativo en la mediana. Por lo tanto, los datos no pueden ser completamente precisos.
- Falta de tratamiento algebraico: la mediana no se puede tratar más algebraicamente.
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: La siguiente observación en un conjunto de datos: 15, 17, 26, 10, 9, 20, 22, 14 y 23. Calcula la mediana del conjunto.
Solución:
Organicemos el conjunto de datos dado en orden ascendente: 9, 10, 14, 15, 19, 20, 22, 23, 26.
Aquí el valor medio es “19”, por lo que la mitad de las puntuaciones son mayores que 19 y la otra mitad son menores.
Pregunta 2: La distribución de frecuencia de la frecuencia y sus intervalos de clase (ingresos en Rs) se dan a continuación. Calcular el ingreso medio.
| Intervalo de clases | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
| frecuencia | 20 | 19 | 25 | 21 | 15 |
Solución:
Puede usar la distribución de frecuencia que se muestra a continuación para obtener el ingreso medio.
Cálculo de la mediana en series discretas Intervalo de clases frecuencia Frecuencia acumulada (cf) 10 20 20 20 19 39 30 25 64 40 21 85 50 15 100 Aquí la mediana se encuentra en la (N+1)/2 = (100+1)/2 = 50,5 observación. Esto se puede encontrar fácilmente usando la frecuencia acumulada. La observación 50,5 se encuentra en el cf de 64. El ingreso en el intervalo de clase relevante es de 30 rupias. Por lo tanto, el ingreso medio es de 30 rupias.
Pregunta 3: La siguiente tabla contiene información sobre las calificaciones obtenidas por los estudiantes en una clase. Calcular la mediana de las notas.
| Marcas obtenidas | Estudiantes |
| 10-20 | 10 |
| 20-40 | 12 |
| 40-60 | 36 |
| 60-80 | 28 |
| 80-100 | 14 |
Solución:
Como los datos dados se organizan en orden ascendente. La clase mediana es el valor de (N/2) segundo elemento (es decir, 100/2 ) = 50º elemento de la serie, que se encuentra en el intervalo de clase 40–60.
Cálculo de la mediana en series continuas Marcas obtenidas Estudiantes (f) Frecuencia acumulada (cf) 10-20 10 10 20-40 12 22 40-60 36 58 60-80 28 86 80-100 14 100 Aplicando la fórmula de la mediana como,
Mediana = L+(N/2-cf)/f xh
Aquí L = 40, N/2 = 50, cf = 22, f = 36 y h = 60-40
= 40 + (50 – 22)/36 × (60-40)
= 55,5
Así, la mediana de las notas es 55,5. Esto significa que el 50% de los estudiantes obtienen menos o igual a 55,5 puntos y el 50% de los estudiantes obtienen más o igual a estos puntos.