Método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden en MATLAB

MATLAB se puede utilizar para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y de orden superior. En este artículo veremos el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales de segundo ^orden en MATLAB.

Paso 1: Deje que la ecuación diferencial de segundo orden dada en términos de ‘x’ sea:

Paso 2: Luego, lo reducimos a su forma de Ecuación Auxiliar (AE): _ {r}{^2}+ pr +Q = 0

Paso 3: Luego, encontramos el Determinante del AE anterior por la Relación:

Paso 4: Si el Determinante encontrado arriba es Positivo (2 Raíces Reales Distintas r ₁ & r ₂ ), entonces la Función Complementaria (CF) será:

Paso 5: Si el Determinante encontrado arriba es Cero (1 Raíz Real Única, r ₁ =r ₂ =r), entonces la Función Complementaria (CF) será: 

Paso 6: Si el Determinante encontrado arriba es Negativo (Raíces Complejas, r = α ± iβ), entonces la Función Complementaria (CF) será:

Paso 7: En todos los 3 casos anteriores, el Coeficiente de C ₁ se denomina ‘y ₁ ‘, y el Coeficiente de C ₂ se denomina ‘y ₂ ‘ _.

Paso 8: Luego encontramos el Wronskiano(W) por la Relación: 

Paso 9: Después de encontrar ‘W’, encontramos la Integral Particular (PI) por la Relación: 

Paso 10: Finalmente la Solución General (GS) de la Ecuación Diferencial de ^2do Orden se encuentra por la Relación:  

Ejemplo:

% MATLAB code for Method of Variation of Parameters 
% to Solve 2nd Order Differential 
% Equations in MATLAB
clear all     
clc  
% To Declare them as Variables
syms r c1 c2 x 
disp("Method of Variation of Parameters to Solve 
2nd Order Differential Equations in MATLAB | GeeksforGeeks")
  
E=input("Enter the coefficients of the 2nd Order Differential equation"); 
X=input("Enter the R.H.S of the 2nd order Differential equation");
  
% Coefficients of the 2nd Order Differential Equations
AE=a*r^2+b*r+c;
a=E(1); b=E(2); c=E(3); 
S=solve(AE);
  
% Roots of Auxiliary Equation (AE)
r1=S(1); r2=S(2);
  
% Determinant of Auxiliary Equation (AE)
D=b^2-4*a*c;     
if D>0
    y1=exp(r1*x); 
    y2=exp(r2*x);
    % Complementary Function
    cf=c1*y1+c2*y2 
elseif D==0
    y1=exp(r1*x);
    y2=x*exp(r2*x); 
    % Complementary Function
    cf=c1*y1+c2*y2 
else
    alpha=real(r1); 
    beta=imag(r2);
    y1=exp(alpha*x)*cos(beta*x); 
    y2=exp(alpha*x)*sin(beta*x);
     % Complementary Function
    cf=c1*y1+c2*y2
end
W=simplify(y1*diff(y2,x)-y2*diff(y1,x)); 
  
% Particular Integral
PI=simplify((-y1)*int(y2*X/W) + (y2)*int(y1*X/W)) 
  
% General Solution
GS=simplify(cf+PI)

Producción:

Input: y'' -6y' + 25 = e2x + sinx + x

 

Input: y'' -2y' + 3 = x3 + cosx