Máximos y mínimos absolutos

A veces nos encontramos con funciones que tienen colinas y valles. Las funciones polinómicas suelen tener más de un punto de colina y valle. Sabemos que estos puntos son puntos críticos de la función y se pueden clasificar en máximos o mínimos. Los puntos de colina se llaman máximos y los puntos de valle se llaman mínimos. Dado que existen múltiples máximos y mínimos, se vuelve esencial para nosotros identificar los puntos donde la función toma el valor mínimo y el valor máximo se denominan máximos globales y mínimos globales.

Puntos críticos y teorema del valor extremo

Digamos que tenemos una función f(x), los puntos críticos son los puntos donde la derivada de la función se vuelve cero. Estos puntos pueden ser máximos o mínimos. Un punto crítico es mínimo o máximo se determina mediante la prueba de la segunda derivada. Dado que puede haber más de un punto donde la derivada de la función es cero, es posible más que mínimos o máximos. La siguiente figura muestra una función que tiene múltiples puntos críticos.

Observe que los puntos A, C son mínimos y los puntos B, D son máximos. B y C se denominan máximos locales y mínimos locales respectivamente. Esto quiere decir que estos puntos son máximos y mínimos en su localidad pero no necesariamente a nivel global. Los puntos A y D se denominan mínimos globales y máximos globales.

Digamos que tenemos una función f(x) que es dos veces diferenciable. Sus puntos críticos vienen dados por f'(x) = 0. El criterio de la segunda derivada nos permite comprobar si el punto crítico calculado es mínimo o máximo.

Si f”(x) > 0, entonces el punto x es un máximo.

Si f”(x) < 0, entonces el punto x es un mínimo.

Ahora, esta prueba nos dice qué punto es un mínimo o un máximo, pero aún no nos da información sobre los máximos globales y los mínimos globales. El teorema del valor extremo viene a nuestro rescate.

Teorema del valor extremo

El teorema del valor extremo garantiza tanto el máximo como el mínimo para una función bajo ciertas condiciones. Este teorema no nos dice donde existirán los puntos extremos, este teorema nos dice que existirán. El teorema establece que,

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) tiene al menos un valor máximo y mínimo en [a, b].

Mínimos y máximos absolutos en un intervalo cerrado

Ahora, para encontrar los puntos extremos en cualquier intervalo, debemos seguir algunos pasos básicos. Digamos que tenemos una función f(x) y una región D. Queremos encontrar el valor extremo de la función en este intervalo.

Paso 1: Encuentra los puntos críticos de la función en el intervalo D,

f'(x) = 0

Paso 2: Encuentra el valor de la función en los puntos extremos del intervalo D.

Paso 3: El valor más grande y el valor más pequeño encontrados en los dos pasos anteriores son el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función.

Mínimos absolutos y máximos en todo el dominio

Los valores mínimos y máximos absolutos de la función en todo el dominio son el valor más alto y más bajo de la función dondequiera que esté definida. Una función puede tener valores máximos y mínimos, uno de ellos o ninguno de ellos. Por ejemplo, una línea recta se extiende hasta el infinito en ambas direcciones, por lo que no tiene un valor máximo ni un valor mínimo. Necesitamos seguir algunos pasos similares al caso anterior para encontrar los máximos y mínimos absolutos para todo el dominio.

Paso 1: Encuentra los puntos críticos de la función donde sea que esté definida.

Paso 2: Encuentra el valor de la función en estos puntos extremos.

Paso 3: Verifique el valor de la función cuando x tiende a infinito y menos infinito. Además, verifique los puntos de discontinuidad.

Paso 4: El máximo y el mínimo de todos estos valores nos dan el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función en todo su dominio.

Veamos algunos ejemplos de problemas.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) = 5x + 2 en el intervalo [0,2].

Solución:

El primer paso es encontrar los puntos críticos derivando la función f(x),

f'(x) = 5

Esta ecuación no tiene raíces, por lo tanto, no hay puntos críticos, lo que significa que no hay máximos ni mínimos. Esta función está aumentando continuamente. Por lo tanto, los máximos y mínimos ocurrirán en los puntos finales del intervalo.

f(0) = 2

f(2) = 12

Así, f(0) es el valor mínimo y f(2) es el valor máximo de la función.

Pregunta 2: Encuentra los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) = x ² – 2x + 5 en el intervalo [0,2].

Solución:

El primer paso es encontrar los puntos críticos derivando la función f(x),

f'(x) = 2x – 2

f'(x) = 0

⇒ 2x – 2 = 0

⇒ x = 1

Este, x = 1 es el punto crítico de la función.

f(1) = (1) ² – 2(1) + 5

⇒f(1) = 1 – 2 + 5

⇒f(1) = 4

Comprobando los puntos finales del intervalo,

f(0) = 5

f(2) = 5

De todos estos valores, podemos concluir que,

x = 1 es el mínimo y x = 2,0 es el máximo.

Por lo tanto, los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la función son 5 y 4 respectivamente.

Pregunta 3: Encuentra los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) = x ³ – 2x ² + 5 en el intervalo [-2,2].

Solución:

El primer paso es encontrar los puntos críticos derivando la función f(x),

f'(x) = 3x ² – 4x

f'(x) = x(3x – 4)

⇒ x(3x – 4) = 0

⇒ x = 0 y $\frac{4}{3}$

Este, x = 0 y $\frac{4}{3}$ son los puntos críticos de la función.

f(0) = 5

⇒f(1) = $x^3 - 2x^2+ 5$

⇒f(1) = $(\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2+ 5$

⇒f(1) = $\frac{64 - 96}{27} + 5$

⇒f(1) = $\frac{-32}{27} + 5$

⇒f(1) = $\frac{-32 + 135}{27}$

⇒f(1) = $\frac{103}{27}$

Comprobando los puntos finales del intervalo,

f(-2) =(-2) ³ – 2(-2) ² + 5

⇒ f(-2) = -8 -2(4) + 5

⇒f(-2) = -16 + 5

⇒f(-2) = -11

f(2) = (2) ³ – 2(2) ² + 5

⇒ f(2) = 5

De todos estos valores, podemos concluir que,

x = -2 es el mínimo y x = 0, 2 es el máximo.

Por lo tanto, los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la función son 5 y 4 respectivamente.

Pregunta 4: Encuentre los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) = $\frac{1}{x + 4}$ en el intervalo [0,1].

Solución:

El primer paso es encontrar los puntos críticos derivando la función f(x),

f'(x) = $\frac{-1}{(x + 4)^2}$

Esta ecuación no será cero para ningún valor de x en el intervalo. Entonces, es monótonamente creciente o decreciente en el intervalo. Comprobación en los puntos límite.

f(0) = $\frac{1}{4}$

f(1) = $\frac{1}{5}$

De todos estos valores, podemos concluir que,

x = 1 es el mínimo y x = 0 es el máximo.

Por lo tanto, los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la función son $\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{5}$ respectivamente.

Pregunta 5: Encuentre los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) = 2e ^x – 2 en el intervalo [0,1].

Solución:

El primer paso es encontrar los puntos críticos derivando la función f(x),

f'(x) = ^2ex

Esta ecuación no será cero para ningún valor de x en el intervalo. Entonces, es monótonamente creciente o decreciente en el intervalo. Comprobación en los puntos límite.

f(1) = 2e ¹ – 2

⇒f(1) = 2e – 2

f(0) = 2(1) – 2

⇒f(0) = 0

De todos estos valores, podemos concluir que,

x = 0 es el mínimo y x = 1 es el máximo.

Por lo tanto, los valores absolutos máximo y mínimo absoluto de la función son 2e – 2 y 0 respectivamente.

Pregunta 6: Encuentra los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) = x ² – x en el intervalo [0,1].

Solución:

El primer paso es encontrar los puntos críticos derivando la función f(x),

f'(x) = 2x – 2

f'(x) = 0

⇒ 2x – 1 = 0

⇒ x = $\frac{1}{2}$

Este, x = $\frac{1}{2}$ es el punto crítico de la función.

f( $\frac{1}{2}$ ) = $(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$

⇒f( $\frac{1}{2}$ ) = $\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

⇒f( $\frac{1}{2}$ ) = $\frac{-1}{4}$

Comprobando los puntos finales del intervalo,

f(0) = 0

f(1) = 0

De todos estos valores, podemos concluir que,

x = $\frac{1}{2}$ es el mínimo y x = 1,0 es el máximo.

Por lo tanto, los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la función son 0 y $\frac{-1}{4}$ respectivamente.

Pregunta 7: Encuentra los máximos absolutos y los mínimos para la función f(x) = x ⁴ + 2x ² .

Solución:

Como no se da ningún intervalo, necesitamos calcular el valor mínimo y máximo de la función en su dominio, que es R. Primero, verifiquemos los puntos críticos.

f(x) = ^x4^– 2×2

⇒ f'(x) = 4x ³ – 4x

f'(x) = 0

⇒ 4x ³ – 4x = 0

⇒ 4x(x2 – ¹ ) = 0

Los puntos críticos son x = 0, 1, -1.

Ahora, dado que es una función polinomial, no hay discontinuidades. Comprobemos los valores asintomáticos de la función.

Cuando x ⇢ ∞, f(x) ⇢ ∞ de manera similar,

x ⇢ -∞, f(x) ⇢ ∞

Por lo tanto, no hay un valor máximo para la función. Para el valor mínimo, revisemos los puntos críticos.

x = 0,-1 y 1

f(0) = 0

f(1) = 3

f(-1) = 3

Por lo tanto, el valor mínimo es f(0) = 0.

Pregunta 8: Encuentra el valor absoluto mínimo y máximo de la función f(x) = $\frac{1}{x + 3}$ .

Solución:

Como no se da ningún intervalo, necesitamos calcular el valor mínimo y máximo de la función en su dominio, que es R – {-3}. Primero vamos a comprobar los puntos críticos.

f(x) = $\frac{1}{x + 3}$

f'(x) = $\frac{-1}{(x + 3)^2}$

No hay ningún punto en el dominio de la función donde f'(x) = 0.

Ahora necesitamos comprobar los valores de la función cuando x tiende a infinito.

Como x ⇢ -∞ o x ⇢ ∞. f(x) ⇢ 0. Y como x ⇢ -3, f (x) ⇢ ∞

Así, no hay valor máximo y el valor mínimo existe cuando x ⇢ ∞ o -∞ y f(x) ⇢ 0.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Puntos críticos y teorema del valor extremo

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