Los gráficos son una parte integral del cálculo. Nos ayudan a analizar el comportamiento y los límites de las funciones y muchas otras cosas. Conocemos las gráficas de algunas funciones estándar, pero a veces hay funciones que se componen de una combinación de estas funciones y es difícil predecir su comportamiento. Así que usamos derivadas y otras cosas para ubicar sus mínimos y máximos y luego trazamos sus gráficos. Veamos cómo hacerlo en detalle.
máximos y mínimos
Los máximos y mínimos se denominan puntos críticos de la función. Un máximo es un punto alto y un mínimo es un punto bajo. En una función pueden existir más de un punto máximo y mínimo. Los puntos en los que la función alcanza los valores más altos y más bajos se denominan puntos máximos y mínimos globales.
¿Cómo encontramos estos puntos?
En cualquier función que cambia suavemente, los puntos donde la función se aplana nos dan mínimos o máximos. Ahora bien, esta afirmación da lugar a dos preguntas.
- ¿Cómo reconocer los puntos en los que la función se aplana?
- Supongamos que tenemos un punto en el que la función se aplana, es decir, un punto crítico. ¿Cómo saber si es un mínimo o un máximo?
Para responder a la primera pregunta, veamos la pendiente de la función. Los puntos donde la función se aplana tienen pendiente cero. Sabemos que la derivada no es más que la pendiente de la función en un punto particular. Entonces, tratamos de encontrar los puntos donde la derivada es cero.
f'(x) = 0
La solución a esta ecuación nos da la posición de los puntos críticos. Todavía no sabemos si son máximos o mínimos.
Reconocimiento de máximos y mínimos
Como se muestra en la siguiente figura, se puede ver que si el signo de la derivada es positivo antes del punto crítico y negativo después del punto crítico, es un máximo. Del mismo modo, si es negativo antes del punto crítico y positivo después del punto crítico. es un minimo Los máximos y mínimos también se pueden reconocer mediante la prueba de la segunda derivada.
Observe la figura cuidadosamente y vea que la pendiente de la curva está disminuyendo continuamente, y luego se vuelve cero y avanza hacia un valor negativo.
Prueba de la segunda derivada:
Cuando la pendiente de una función es cero en x, entonces la segunda derivada f” en ese punto es:
- f” < 0, si es un máximo.
- f” > 0, si es un mínimo.
Nota: Si la segunda derivada es cero en los puntos críticos, la prueba falla.
Analizar una función con su derivada
Una vez que tenemos información sobre los mínimos y máximos de la función, podemos comenzar a trazar un gráfico de esa función. Digamos que tenemos una función f(x),
f(x) = x2 – 4
Paso 1: Valores asintomáticos
Veamos los valores asintomáticos de la función dada, es decir, los valores que toma esta función en la entrada grande positiva y negativa. La función se vuelve infinita a grandes valores de entrada.
Paso 2: Descubre los puntos críticos
Poniendo f'(x) = 0 nos da la posición de los puntos críticos para la función. Para la función dada,
f'(x) = 0
⇒2x = 0
⇒ x = 0.
Por lo tanto, x = 0 es un punto crítico para esta función. Ahora tenemos que averiguar si es un mínimo o un máximo.
Paso 3: Prueba de la segunda derivada
Usamos la prueba de la segunda derivada mencionada anteriormente para averiguar si el punto crítico dado es mínimo o máximo. En el caso anterior,
f”(x) = 2
Note que, f”(x) > 0. Por lo tanto, debe ser un mínimo.
Paso 4: Valor en puntos críticos y raíces.
Encuentre el valor de la función en los puntos críticos y encuentre las raíces si existen. También debe calcularse el valor de la función en x = 0. Estas cosas nos dan una idea clara sobre la forma de la gráfica.
f(0) = -4.
Veamos algunos ejemplos sobre estos conceptos.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra todos los puntos críticos de la siguiente función,
f(x) = x 3 – 6x 2 +11x – 6
Solución:
f(x) = x 3 -6x 2 +11x – 6
f'(x) = 3x 2 -12x +11 = 0
⇒ 3x 2 -12x +11 = 0
Usando la fórmula de Shree Dharacharya,
x =
x =
x =
x =
x =
Pregunta 2: Trace la gráfica para f(x) = x + 4.
Solución:
Observe que a medida que aumentamos los valores de x en los lados positivo y negativo, el valor de la función tiende a infinito positivo y negativo.
Valor de esta función en x = 0.
f(0) = 4.
Ahora vamos a buscar los puntos críticos.
f'(x) = 1.
No hay puntos críticos, por lo que no hay máximos ni mínimos. Dado que la derivada es positiva y constante, esta función es estrictamente creciente a una tasa constante. La derivada constante significa que la función debe ser una línea que corta el eje y en y = 4.
Por último, veamos el punto en el que la línea corta el eje x. Poniendo f(x) =0
0 = x + 4
⇒x = -4
Ahora tenemos dos puntos (-4,0) y (0,4). Entonces, la curva se verá como.
Pregunta 3: Dada la función, f(x) = x 2 – 4x + 4. Trace su gráfica.
Solución:
Repetiremos los mismos pasos para cada función.
En x = 0. f(x) = 4
Poniendo f(x) = 0 para averiguar dónde la curva se cruza con el eje x.
x 2 -4x + 4 = 0
⇒ x2 -2x -2x + 4 = 0
⇒ x(x – 2) -2(x – 2) = 0
⇒(x – 2)(x – 2) = 0
x = 2 es el punto donde la curva del eje x.
Tenemos los dos puntos ahora,
f'(x) = 2x – 4 = 0
⇒x = 2
f”(x) = 2 > 0 entonces x = 2 es un mínimo.
Entonces, la gráfica de la función se verá así,
Pregunta 4: Dada la función, f(x) =x 2 -7x + 12. Trace su gráfica.
Solución:
en x = 0, f(x) = 12.
Poniendo f(x) = 0,
x2 -7x + 12 = 0
⇒x2 -4x -3x + 12 = 0
⇒x(x – 4) -3(x – 4) = 0
⇒ (x -3) (x -4) = 0
Entonces, x = 3 y x = 4 son las raíces de esta función.
Ahora vamos a averiguar los puntos críticos y sus valores.
f'(x) = 2x – 7 = 0d
⇒ x =
f”(x) = 2 > 0 Por lo tanto, el punto crítico es mínimo.
Entonces, el gráfico de esta función se verá así.
Pregunta 5: Dada la función, f(x) =e x + e -x . Trace su gráfico.
Solución:
La función dada contiene exponencial.
En x = 0, f(0) = 2.
En x = ∞ o x = -∞, f(x) = ∞.
Descubrir los puntos críticos,
f'(x) = e x – e -x = 0
⇒ e x = e -x
Tomando registro de ambos lados,
⇒ x = -x
⇒x = 0
Por lo tanto, x = 0 es un punto crítico.
f”(x) = e x + e -x > 0
Por lo tanto, x = 0 es un mínimo.
f(0) = 2.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA