Módulo de corte y módulo a granel

Un modelo de cuerpo rígido es una representación idealizada de un elemento que no se deforma cuando se somete a fuerzas externas. Es extremadamente beneficioso para evaluar sistemas mecánicos, y muchos elementos físicos son bastante rígidos. El grado en que un artículo puede considerarse rígido está determinado por las características físicas del material utilizado para crearlo. Cuando se aplican presiones aplastantes a una pelota de ping-pong hecha de plástico, se vuelve quebradiza, pero una pelota de tenis hecha de caucho se vuelve elástica. Sin embargo, en otras situaciones, una pelota de ping-pong y una pelota de tenis pueden rebotar bien como cuerpos rígidos.

De manera similar, alguien que diseñe prótesis puede imitar la dinámica de las extremidades humanas modelándolas como cuerpos rígidos; sin embargo, la mezcla real de huesos y tejidos es un medio elástico.

Una deformación es un cambio de forma causado por la aplicación de una fuerza. Se sabe que incluso tensiones relativamente modestas pueden producir alguna deformación. La deformación ocurre cuando los objetos o medios físicos se someten a presiones externas, como aplastamiento, estrujamiento, desgarro, torsión, cizallamiento o separación. Las fuerzas sobre los objetos que sufren deformación se describen con dos palabras en física: tensión y deformación .

El estrés es una medida de la magnitud de las fuerzas que producen la deformación. En general, el estrés se define como la fuerza por unidad de área. 

• La tensión de tracción ocurre cuando las fuerzas atraen un objeto y hacen que se alargue, como cuando se estira una banda elástica.
• El estrés de compresión ocurre cuando las fuerzas hacen que un elemento se comprima.
• El estrés de volumen ocurre cuando un elemento es presionado desde todos los lados, como un submarino en las profundidades del océano (o estrés de volumen ).

En algunos casos, las fuerzas operativas pueden no ser de tracción ni de compresión y, sin embargo, provocan una deformación significativa.

La unidad SI de estrés: Pascal (Pa) . Cuando se aplica una fuerza de un newton a una unidad de superficie de un metro cuadrado, la tensión resultante es de un pascal.

Tensión: cuando un objeto o medio se somete a tensión, se deforma. La deformación es la cantidad que describe esta deformación. La deformación se expresa como un cambio fraccionario de longitud (cuando se encuentra bajo esfuerzo de tracción), volumen (cuando se encuentra bajo esfuerzo volumétrico) o forma (bajo esfuerzo cortante). Como resultado, la deformación es una cantidad adimensional. 

• La deformación por tracción es la deformación producida por el esfuerzo de tracción.
• La deformación aparente (o deformación volumétrica) es la deformación generada por el esfuerzo cortante, y
• La deformación por cizallamiento es la deformación inducida por el esfuerzo de cizallamiento.

Cuanto mayor es el estrés, mayor es la tensión; sin embargo, la relación tensión-esfuerzo no tiene que ser lineal. Solo cuando la tensión es lo suficientemente baja, la deformación se produce en proporción directa al valor de la tensión. El módulo elástico es la constante de proporcionalidad en esta relación. La relación general entre tensión y deformación se muestra en el límite lineal de los niveles de baja tensión.

Estrés = (módulo de elasticidad) × deformación

Módulo de corte (η)

El módulo de elasticidad de corte es una de las características mecánicas de los sólidos que se pueden medir. El módulo de Young y el módulo de volumen son dos módulos elásticos más. La relación entre el esfuerzo cortante y la deformación cortante en un cuerpo viene dada por el módulo de corte del material.

Como se muestra en la figura, considere un bloque rectangular cuya cara inferior es fija y sobre su cara superior de área A se aplica una fuerza tangencial F. En su cara inferior fija actúa una fuerza F igual y opuesta. Las dos fuerzas iguales y opuestas forman un par que ejerce un momento de torsión. Como la cara inferior del bloque está fija, el par corta el bloque en forma de paralelepípedo desplazando su cara superior una distancia AA, I = Δx.

Sea AB = DC = 1 y ∠ABA’ = θ

Estrés tangencial = F/A

Deformación cortante = θ = tan θ =AA’/AB

                      = Δx/l     

El módulo de rigidez está dado por,

η = Esfuerzo tangencial/deformación cortante 

   = (F/A)/θ 

   =F/Aθ

   = F/A .l/Δx

Unidades y dimensiones de η : La unidad SI de módulo de rigidez es Nm ^-2 y su unidad CGS es dina/cm ² . Su fórmula dimensional es [ML ^-1 T ^-2 ].

Módulo de volumen (B)

Dentro del límite elástico, la relación entre la tensión normal y la deformación volumétrica se denomina módulo de elasticidad aparente.

Considere un cuerpo de volumen V y área de superficie A. Suponga que una fuerza F actúa uniformemente sobre toda la superficie del cuerpo y disminuye el volumen en ΔV como se muestra en la figura. Entonces el módulo de elasticidad aparente está dado por

B = tensión normal/deformación volumétrica 

   = -F/A/ΔV/V

B=-F/AV/ΔV = -pV/ΔV

donde p (=F/A) es la presión normal. Un signo negativo muestra que el volumen disminuye con el aumento de la tensión. 

Unidades y dimensiones de B: La unidad SI del módulo volumétrico es N/m ² o Pascal (Pa) y su unidad CGS se hace/cm ² . Su fórmula dimensional es [ML ^-1 T ^-2 ]

Compresibilidad: El recíproco del módulo de volumen de un material se denomina compresibilidad.

Compresibilidad =1/B

La unidad SI de compresibilidad es N ^-1 m ² y la unidad cgs de compresibilidad es dina ^-1 cm ²

Problemas de muestra

Pregunta 1: Un alambre uniforme de Acero de 2,5 m de largo y 8,0 g/cm ^-3 de densidad pesa 50 g. Cuando se estira con una fuerza de 10 kg, la longitud aumenta en 2 mm. Calcular el módulo de Young del acero.

Responder:

Dado l=2,5 m =250 cm

           Δl = 2 mm = 0,2 cm

F=10 kgf =10 ×9,8 N =10 ×9,8 ×105 dina

Masa = volumen × densidad 

A = Masa/l ×ρ =50/250 ×8 =0,025 cm2

Módulo de Young =F/A . l/Δl 

  =10 ×9,8 ×105 ×250/0,025 ×0,2

  =4.9 ×1011 dina cm ^-2

Pregunta 2: ¿Cuál es el porcentaje de aumento en la longitud de un alambre de 2,5 mm de diámetro estirado por una fuerza de 100 kg de peso? El módulo de elasticidad de Young del alambre es 12.5 × 10 ^ 11 dina cm -2

Responder:

        Dado r = 1,25 mm = 0,125 cm

        F = 100 × 9.8 = 980 N = 98 × 10 ^ 6 dina

        Y= 12.5 ×10^11dina cm^- 2

       Y=F/Al/Δl o Δl/l =F/AY =F/πr2Y

El porcentaje de aumento en la longitud es

         Δl/l ×100 =F×100/πr2 Y

           =98 × 106 × 7 × 100 /22 × (0,125) 2 × 12,5 × 1011

           =15.965×10-2

            =0.16%

Pregunta 3: Calcule el aumento de presión necesario para disminuir el volumen de una muestra de agua en un 0,01 %. Dado que el módulo volumétrico del agua es 2,2 × 10 9 Pa.

Responder:

Aquí, disminución fraccional de volumen

ΔV/V = -0,01% = -0,01/100 =-10-4

Módulo de volumen del agua B=2,2 × 10 9 Pa

Módulo volumétrico B = P/ΔV/V

     P = -B.ΔV/V = -(2,2 × 109). (-10 -4)

       =2,2 ×105 Pa

Pregunta 4: Encuentra el cambio de volumen que experimentará 1m3 de agua cuando se lleve de la superficie al fondo de un lago de 100 m de profundidad. La elasticidad volumétrica dada del agua es de 22.000 atmósferas.

Responder:

Aquí V = 1 m3, h = 100 m, g = 9,8 ms -2

 ρ(agua) =1000 kg m -3

P = hρh =100 ×1000 ×9,8 =9,8 ×10^5Nm^-2

B = 22000 atm = 22000 × 1,013 × 10^5 Nm^-2

 =22.286×10^8Nm^-2

 ΔV =pV/B =9,8×105 ×1/22,286 ×108

      =4,4 ×10^-4 m3 

Pregunta 5: Un cubo de caucho indio de 7 cm de lado tiene un lado fijo mientras que en la cara opuesta se aplica una fuerza tangencial igual al peso de 200 kg. Encuentre la deformación cortante producida y la distancia a través de la cual se mueve el lado deformado. el módulo de rigidez del caucho es 2 × 10 ⁷  dina cm ^-2

Responder:

Aquí ,l=7 cm ,F =200 kg f=200 ×1000 ×981 dina

η =2 ×20^7 dina cm ^-2

Área de la cara libre,

   A =l2 =7 cm × 7 cm =49 ^cm2

    η =F/Aθ

    θ =F/Aη =200 × 1000 × 981 /49 × 2 ×10^7

       =0,2 radianes

  Δl = lθ =7 × 0,2 =1,4 cm