Momento de inercia

El movimiento de los cuerpos puede ser de muchos tipos, como el movimiento lineal, el movimiento circular y el movimiento de rotación. De acuerdo con la primera ley del movimiento de Newton, si un objeto está estacionario, permanecerá en un estado estacionario y si está en movimiento, permanecerá en movimiento a menos que se le aplique una fuerza externa. Esto se debe a la inercia del cuerpo. Así como el movimiento lineal tiene inercia, el movimiento de rotación tiene momento de inercia. En este artículo vamos a estudiar este momento de inercia. Además, vamos a estudiar la definición, expresión matemática, aplicaciones y teoremas, y más sobre el momento de inercia. Entonces, para aprender sobre el momento de inercia, debemos conocer el concepto básico que se muestra a continuación:

Centro de masa

El centro de masa de un cuerpo o sistema de partículas es el punto en el que se puede suponer que la masa total de ese cuerpo o sistema de partículas está centrada, de modo que la velocidad de rotación de una sola partícula es igual a la masa total del cuerpo. -centrado en el centro de masa es exactamente lo mismo. Como es el movimiento de todo el cuerpo. “ El centro de masa del sistema es el punto en el que se puede considerar concentrada toda la masa del sistema ”.

Movimiento de rotación del cuerpo rígido

Si un cuerpo descansa en un punto de tal manera que puede moverse libremente alrededor de ese punto, entonces cuando se aplica una fuerza externa al cuerpo, no se mueve en la dirección de la fuerza, sino que se mueve a lo largo del eje que pasa por ese punto. el punto comienza a moverse. este movimiento del cuerpo se denomina movimiento de rotación y el eje alrededor del cual gira el cuerpo se denomina eje de rotación. “ Cuando al aplicar una fuerza o un par de fuerzas sobre un cuerpo rígido, ese cuerpo empieza a girar alrededor de un eje que pasa a girar alrededor de un eje que pasa por sí mismo, entonces su movimiento se llama Movimiento de Rotación ”.

Momento de inercia

Así como el movimiento lineal tiene inercia, el movimiento de rotación tiene momento de inercia. De acuerdo con la primera ley de movimiento de Newton, un objeto que está estacionario permanecerá estacionario y un objeto que está en movimiento continuará moviéndose en línea recta con la misma velocidad a menos que se le aplique una fuerza externa, es decir, un objeto puede No cambia automáticamente su posición, pero cuando se aplica una fuerza externa sobre el objeto para cambiar su posición, entonces ese objeto se opone. Esta tendencia de un objeto se llama su Inercia .

De manera similar, todo el mundo en movimiento de rotación, ya sea que se mueva alrededor del eje de rotación o sea capaz de girar, pero en reposo, se opone al cambio causado por la fuerza externa. esta tendencia del cuerpo se llama su Momento de Inercia .

Por lo tanto, un cuerpo en movimiento de rotación se opone a la fuerza-momento externa aplicada para cambiar su estado de rotación, esta tendencia se denomina su Momento de Inercia.

El momento de inercia es una cantidad escalar. Matemáticamente, el producto del cuadrado de la masa de una partícula y la distancia desde el eje de rotación se denomina momento de inercia de la partícula con respecto al eje de rotación.

Supongamos que una partícula de masa m se mueve con respecto al eje de rotación XY , entonces el momento de inercia de la partícula con respecto a XY será I = mr ²

Expresión para el Momento de Inercia de un cuerpo

Supongamos que un cuerpo rígido se mueve con una velocidad angular uniforme ω alrededor de un eje AB que pasa por un punto O perpendicular al plano. Supongamos que este cuerpo está formado por muchas partículas pequeñas cuya masa es m1, m2, m3, ….etc. y sus distancias al eje de giro son respectivamente r1, r2, r3…., etc.

Por definición, el momento de inercia de una partícula sobre el eje AB = La masa de la partícula * El cuadrado de la distancia de la partícula desde el eje de rotación

Entonces, Momento de inercia de la primera partícula = m1*r1 ²

Momento de inercia de la primera partícula = m2*r2 ²

Momento de inercia de la primera partícula = m3*r3 ²

………………………………………..Etc.

Ahora el momento de inercia de todo el cuerpo con respecto al eje de rotación AB será igual a la suma del momento de inercia de todas las partículas, entonces

yo = m1*r1 ² + m2*r2 ² + m3*r3 ² +……

o yo = Σ m*r ²

Aquí represento el momento de inercia de todo el cuerpo con respecto al eje de rotación y el signo Σ representa la suma. Está claro de la ecuación que el momento de inercia de un cuerpo alrededor de un eje de rotación es igual a la suma del producto de la masa de cada partícula de ese cuerpo y el cuadrado de su distancia perpendicular al eje de rotación.

Nota: Después del cambio en el tamaño, la forma o el eje del cuerpo, se cambiará el momento de inercia.

Radio de giro

El radio de giro de un cuerpo es la perpendicular a la distancia desde el eje de rotación hasta el punto en el que el momento de inercia obtenido al tomar la masa total del cuerpo como centro es igual al momento de inercia real del objeto. Se denota por K.

Si la masa y el radio de giro del cuerpo son M y K respectivamente, entonces el momento de inercia de un cuerpo es

I = MK ² …… 1

Así, el radio de giro de un cuerpo es la perpendicular al eje de rotación cuyo cuadrado multiplicado por la masa de ese cuerpo da el momento de inercia de ese cuerpo con respecto a ese eje.

De nuevo por la ecuación 1, K ² = I/M

o K = √I/m

Así, el radio de giro de un cuerpo alrededor de un eje es igual a la raíz cuadrada de la relación del cuerpo alrededor de ese eje.

Teoremas sobre el momento de inercia

Hay tres tipos de teoremas que son muy importantes con respecto al momento de inercia:

1. El teorema de la adición,
2. El teorema del eje vertical y
3. El teorema del eje paralelo.

Teorema de la adición

El momento de inercia de un sistema compuesto por muchas partículas alrededor de un solo eje de rotación es igual a la suma de los momentos de inercia de cada partícula alrededor de ese eje. si I ₁ , I ₂ , I ₃ ……..etc son respectivamente el momento de inercia de diferentes partículas del sistema sobre el mismo eje de rotación, entonces el momento de inercia total del sistema.

yo = yo ₁ + yo ₂ + yo ₃ + ……………….

Claramente, si una parte del momento de inercia I’ se quita de un cuerpo que tiene un momento de inercia I , entonces el cuerpo restante tendrá un momento de inercia restante = (I – I’) sobre el mismo eje de rotación.

Teorema del Eje Vertical

La suma del momento de inercia de un cuerpo con respecto a dos ejes mutuamente perpendiculares situados en el plano de un cuerpo es igual al momento de inercia del cuerpo con respecto al tercer eje que es perpendicular a los dos ejes y pasa por su punto de intersección .

En la figura anterior. OX y OY son dos de esos ejes en el plano del cuerpo que son perpendiculares entre sí. El tercer eje es OZ que es perpendicular al plano del cuerpo y pasa por el punto de intersección de los ejes OX y OY . Si I _x , I _y , e I _z son los momentos de inercia del cuerpo con respecto a los ejes OX , OY y OZ respectivamente, entonces de acuerdo con este teorema

yo _x + yo _y = yo _z

Teorema del eje paralelo

De acuerdo con este teorema, el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje dado es la suma del momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de masa de ese cuerpo y el producto del cuadrado de la masa del cuerpo y el distancia perpendicular entre los dos ejes.

En la figura anterior, tenemos que encontrar el momento de inercia de I _O del cuerpo que pasa por el punto O y sobre el eje perpendicular al plano, mientras que el momento de inercia del cuerpo que pasa por el centro de masa C y sobre un eje paralelo al eje dado es I _C , entonces de acuerdo con este teorema

YO _O = YO _C + Ml ²

donde M es la masa de todo el cuerpo y l es la distancia perpendicular entre dos ejes.

Momento de inercia de algunos cuerpos regulares

• Placa Rectangular Sólida: Si la masa de la placa es M, longitud l y ancho b, entonces el momento de inercia pasa por el centro de gravedad y alrededor de un eje perpendicular al plano de la placa.

yo = METRO( l ² + ^{segundo 2} / 12)

• Disco circular: si el disco tiene una masa M y un radio r, entonces el momento de inercia con respecto al eje geométrico del disco es

yo = 1/2 (señor ² )

• Varilla delgada uniforme: si la masa de la varilla es M y la longitud es l, entonces el momento de inercia con respecto al eje perpendicular a la longitud de la varilla y que pasa por su centro de gravedad

yo = ml ² /12

• Anillo circular: si la masa del anillo M y el radio del anillo es r, entonces el momento de inercia sobre el eje que pasa perpendicularmente al centro del anillo es

yo = señor ²

• Esfera sólida: si la esfera sólida tiene la masa de M y el radio r, entonces el momento de inercia con respecto a su diámetro es

I = 2/5Señor ²

Diferencia entre momento de inercia e inercia

No Señor.	Inercia	Momento de inercia
1.	Su importancia está en el movimiento lineal.	Su importancia está en el movimiento de rotación.
2.	Es esa propiedad de un objeto que se opone al cambio de estado del objeto en movimiento lineal.	El momento de inercia es aquella propiedad de un objeto que se opone al cambio de estado del objeto en movimiento de rotación.
3.	La inercia de un objeto depende únicamente de su masa.	El momento de inercia de un objeto depende de su masa y de su distribución de masa con respecto al eje de rotación.
4.	La inercia de un objeto es fija.	El momento de inercia de un objeto varía con respecto a diferentes ejes de rotación.

Aplicación del Momento de Inercia

1. Debido al mayor momento de inercia, la tierra gira sobre su eje con la misma velocidad angular.
2. Una pequeña rueda móvil se coloca debajo del motor de juegos para niños. Después de frotar esta rueda con el suelo y dejar el motor, debido al momento de inercia de la rueda, el motor sigue funcionando durante un tiempo.
3. Cada motor consta de una rueda grande y pesada unida a su eje, con la mayor parte de su masa en su circunferencia. Por lo tanto, su momento de inercia es alto. Esta rueda se llama volante. El par que impulsa el eje del motor sigue aumentando. Por lo tanto, la rotación del eje puede no ser uniforme, pero debido a la presencia de una rueda en movimiento con más inercia, el eje continúa girando con una velocidad casi uniforme.
4. En la rueda de carreta de bueyes, rickshaw, scooter, bicicleta, etc., la mayor parte de la masa se concentra en su círculo o llanta. este aro o rutina está unido al eje de la rueda por radios rígidos. Al hacer esto, su momento de inercia aumenta. Por lo tanto, cuando las piernas dejan de moverse durante el ciclismo, la rueda sigue girando durante algún tiempo.

Problemas de muestra

Pregunta 1. Un cuerpo de 500 g de masa gira alrededor de un eje. la distancia del centro de masa del cuerpo al eje de rotación es de 1,2 m. Encuentre el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación.

Solución:

Dado que M = 500 g = 0,5 kg, r = 1,2 m.

Obviamente, se puede suponer que toda la masa de un cuerpo está colocada en su centro de masa. Luego el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación.

yo = señor ²

=> yo = 0,5 * (1,2) ²

=> I = 0,72 kg m ²

Pregunta 2. El radio de revolución alrededor de un eje a 12 cm del centro de masa de un cuerpo de 1,2 kg de masa es de 13 cm. calcular el radio de revolución y el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.

Solución: 

Dado que, M = 1,0 kg, K = 13 cm, l = 12 cm, K _CM = ?, I _CM = ?

Del Teorema del Eje Paralelo I = I _CM + Ml ²

=> 2 K ^{= 2 K} CM ₊ l _²

o K _{CM ²} = K ² – l ²

=> K _{CM ²} = (13) ² – (12) ² = 25

=> K _CM = 5

Ahora, Momento de Inercia I _CM = MK _{CM ²}

I _CM = 1,0 * (0,05) ² = 2,5 * 10 ^-3 kg m ²

Pregunta 3. Un cuerpo de 0,1 kg de masa gira alrededor de un eje. si la distancia del centro de masa del cuerpo al eje de rotación es de 0,5 m, entonces encuentre el momento de inercia del cuerpo.

Solución:

Dado que, M = 0,1 kg y r = 0,5 m

entonces yo = señor ²

=> yo = 0,1 * (0,5) ²

=> I = 0,025 kg m ²

Pregunta 4. El momento de inercia de los anillos alrededor de un eje que pasa por su centro perpendicular al plano del anillo circular es de 200 gm cm ² . ¿Cuál será el momento de inercia con respecto a su diámetro?

Solución: 

Momento de inercia de un anillo circular alrededor de un eje que pasa por otro centro perpendicular a su plano

MR ² = 200 g cm ²

Momento de inercia respecto al diámetro

= 1/2 RM ²

= 1/2 * 200 = 100 g cm ²

Pregunta 5. ¿De qué depende el momento de inercia de un cuerpo?

Solución:

El momento de inercia depende de los siguientes factores:

1. Masa del Cuerpo,

2. Distribución de la masa del cuerpo, y

3. En la posición del eje de rotación.

Tenga en cuenta que cambiar la forma o el tamaño del cuerpo o el eje de rotación cambia su momento de inercia.