El movimiento en un plano también se conoce como movimiento bidimensional. Por ejemplo, movimiento circular, movimiento de proyectil, etc. El punto de referencia para dicho análisis de movimiento será un origen y los dos ejes de coordenadas X e Y. En esta sección, analizaremos el movimiento de un proyectil .
El movimiento de un objeto lanzado o proyectado en el aire, sujeto únicamente a la aceleración de la gravedad, se denomina movimiento de proyectil. El objeto se conoce como proyectil, y su camino se conoce como su trayectoria . El movimiento de objetos que caen, como se describe en Conceptos básicos de resolución de problemas para cinemática unidimensional, es un tipo de movimiento de proyectil unidimensional simple sin movimiento horizontal. En esta sección, analizamos el movimiento de un proyectil bidimensional, como el de una pelota de fútbol u otro objeto con una resistencia del aire despreciable.
Lo más importante que hay que recordar aquí es que los movimientos a lo largo de ejes perpendiculares son independientes entre sí y, por lo tanto, pueden analizarse por separado. Esto se discutió en Cinemática en dos dimensiones: una introducción, donde se demostró que los movimientos vertical y horizontal son independientes. La clave para comprender el movimiento de un proyectil bidimensional es dividirlo en dos movimientos, uno horizontal y otro vertical. (Esta es la elección de ejes más lógica porque la aceleración de la gravedad es vertical, por lo que no habrá aceleración a lo largo del eje horizontal cuando la resistencia del aire sea insignificante).
Por supuesto, para describir el movimiento, debemos considerar la velocidad, la aceleración y el desplazamiento. También debemos ubicar sus componentes a lo largo de los ejes x e y. Supondremos que todas las fuerzas distintas de la gravedad (como la resistencia del aire y la fricción) son despreciables. Los componentes de la aceleración son entonces muy sencillos:
- a y = –9,80 m/s 2 . (Tenga en cuenta que esta definición asume que la dirección hacia arriba se define como la dirección positiva, si el sistema de coordenadas está dispuesto de tal manera que la dirección hacia abajo es positiva, la aceleración debida a la gravedad es positiva).
- a x = 0 porque la gravedad es vertical.
Como las aceleraciones son constantes, se pueden aplicar las ecuaciones cinemáticas.
Movimiento de proyectiles
Un proyectil es cualquier objeto lanzado al espacio sobre el que solo actúa la gravedad. La fuerza principal que actúa sobre un proyectil es la gravedad. Esto no quiere decir que otras fuerzas no actúen sobre él; más bien, su impacto es mínimo en comparación con la gravedad. Una trayectoria es un camino tomado por un proyectil.
Cuando una partícula se lanza oblicuamente cerca de la superficie terrestre, sigue una trayectoria curva con aceleración constante hacia el centro de la tierra (suponemos que la partícula permanece cerca de la superficie terrestre). La trayectoria de tal partícula se conoce como trayectoria de proyectil , y su movimiento se conoce como movimiento de proyectil .
El movimiento de proyectiles es uno de los tipos más comunes de movimiento en un plano. La única aceleración que actúa en el movimiento de un proyectil es la aceleración vertical causada por la gravedad (g). Como resultado, las ecuaciones de movimiento se pueden usar por separado en los ejes X e Y para determinar los parámetros desconocidos.
- El movimiento de un proyectil en dos dimensiones se divide en dos partes:
- Movimiento horizontal en la dirección x sin aceleración y
- Movimiento vertical en la dirección y con aceleración constante debido a la gravedad.
- La ecuación para el movimiento de un proyectil es y = ax + bx 2 .
- Para simplificar los cálculos, el movimiento de los proyectiles normalmente se calcula sin tener en cuenta la resistencia del aire .
Antes de comprender la derivación de la relación para el movimiento de un proyectil, primero introduzcamos algunos términos que se usan en ella, que son:
- Ángulo de proyección: El ángulo en el que se proyecta el cuerpo con respecto a la horizontal se denomina ángulo de proyección.
- Velocidad de proyección: La velocidad con la que se lanza el cuerpo se denomina velocidad de proyección.
- Punto de Proyección: Un punto de proyección es el punto desde el cual se proyecta el cuerpo en el aire.
- Trayectoria del proyectil: La trayectoria tomada por un proyectil en el aire se denomina trayectoria del proyectil.
- Alcance horizontal: la distancia horizontal recorrida por el cuerpo que realiza el movimiento del proyectil se denomina alcance del proyectil.
Considere el siguiente ejemplo de una pelota que se proyecta con un ángulo θ desde el punto O con respecto al eje x horizontal con una velocidad inicial u:
Aquí,
- El punto O se conoce como el punto de proyección.
- θ es el ángulo de proyección y
- OB = Rango Horizontal.
- H es la altura de la partícula.
- El tiempo total que tarda la partícula en viajar de O a B se denomina tiempo de vuelo.
Podemos usar ecuaciones diferenciales de movimiento para encontrar varios parámetros relacionados con el movimiento de un proyectil.
Sabemos que las ecuaciones lineales del movimiento son:
v = tu + en
S = ut + 1/2(en 2 )
v 2 = tu 2 + 2aS
Aplicando la ecuación anterior para el movimiento de proyectiles, la ecuación será:
v = tu – gt
S = ut – 1/2(gt 2 )
v2 = u2 – 2gS
Dónde,
u = velocidad inicial
v = velocidad final
g = Aceleración debida a la gravedad (Tomándolo -ve porque la gravedad siempre trabaja hacia abajo)
S = Desplazamiento
t = tiempo
Tiempo total de vuelo:
En dirección Y desplazamiento total (S y ) = 0.
tomando el movimiento en la dirección Y, S y = u y t – 1/2(gt 2 ) [Aquí, u y = u sinθ y S y = 0]
es decir, 0 = usando θ – 1/2 (gt 2 )
t = 2 usando θ/g
Tiempo total de vuelo (t) = 2 usando θ/g
Caso 1: si θ = 90°
Como podemos ver en la fórmula del Tiempo de vuelo, el tiempo que tarda el proyectil es directamente proporcional al ángulo de proyección. Para cualquier velocidad inicial dada (u) será constante y g siempre es constante, es decir, g=-9,8 m/s2.
Cuando el proyectil se proyecte en un ángulo de 90°, el tiempo de vuelo será máximo.
Entonces, t max = 2usinθ/g = 2u/g [ sin 90° = 1]
Caso 2: si θ = 30°
Cuando el proyectil se proyecta con un ángulo de 30°, el tiempo de vuelo es la mitad del tmax .
es decir, t = 2usin30°/g = tmax / 2. [ sen30° = 1/2 ]
Rango horizontal:
El rango horizontal es una distancia (OB) que se puede dar como:
OB = Componente horizontal de la velocidad(u x ) * Tiempo total(t) [ Aquí, u x = u cosθ y t = 2usando θ/g]
es decir, Rango (R) = ucosθ * 2usinθ/g
Como resultado, el Alcance Horizontal del proyectil viene dado por (R):
Rango horizontal (R) = u 2 sin2θ/g [Aquí, sin2θ = 2cosθsinθ]
Caso 1: si θ = 90°
Cuando el proyectil se proyecta en un ángulo de 90°, el rango horizontal será cero, porque el proyectil golpeará en el mismo punto donde se proyecta el proyectil.
es decir, R = u 2 sen2θ/g = 0. [ sen 2θ = 0, en θ = 90 ]
Caso 2: si θ = 45°
Cuando el proyectil se proyecta a 45°, el alcance horizontal del proyectil es máximo.
es decir, R = tu 2 sen2θ/g = tu 2 /g. [Aquí, sen90 = 1]
Altura máxima:
Es el punto más alto de la partícula (punto A). Cuando la pelota llega al punto A, la componente vertical de la velocidad (V y ) será cero.
es decir, 0 = (usando θ) 2 – 2gH max [ Aquí, S = H max , v y = 0 y u y = u sin θ ]
Por tanto, la Altura Máxima del proyectil viene dada por (H max ):
Altura Máxima (H max ) = u 2 sin 2 θ/2g
Caso 1: si θ = 90°
Si proyectamos un proyectil en un ángulo de 90° alcanza la altura máxima (H max ).
es decir H max = u 2 sen 2 θ/2g = u 2 /2g. [Aquí, sen 2 90 = 1 ]
Caso 2: si θ = 45°
Cuando el proyectil se proyecta en un ángulo de 45°, la altura del proyectil es la mitad de su altura máxima (Hmax).
es decir, H = u 2 sen 2 θ/2g = (1/2)u 2 /2g = Hmax/2. [ pecado 2 45° = 1/2 ]
También podemos decir que si el ángulo del proyectil es de 45°, el rango horizontal del proyectil será 4 veces la altura del proyectil.
es decir, H = u 2 /4g = R/4 [Aquí, rango horizontal en θ = 45°, R = u 2 /g]
o R = 4H.
La ecuación de la trayectoria:
La ecuación de la trayectoria es un camino seguido por la partícula durante el movimiento del proyectil. la ecuacion es:
y = x tanθ – gx 2 /2u 2 cos 2 θ
Esta es la ecuación del movimiento de un proyectil, es similar a la parábola (y = ax + bx 2 ), por lo que podemos decir que el movimiento de un proyectil es siempre de naturaleza parabólica.
Ejemplos de movimiento bidimensional son los siguientes,
- Lanzar una pelota o lanzar una bala de cañón
- El movimiento de una bola de billar en una mesa de billar.
- El movimiento de un proyectil de arma de fuego siendo disparado.
- La rotación de la tierra alrededor del sol.
- Cuando se lanza una pelota desde un automóvil en movimiento, la trayectoria que recorre la pelota es un movimiento de proyectil.
- Un fildeador lanza la pelota hacia los portillos en un partido de cricket.
- Se dispara una bala a un objetivo de larga distancia.
Algunas aplicaciones del movimiento de proyectiles:
- Un cohete o misil es un tipo de aplicación de proyectil más complejo en la vida moderna.
- Los proyectiles son comúnmente utilizados por los atletas, particularmente en el lanzamiento de jabalina, lanzamiento de peso, lanzamiento de disco y lanzamiento de martillo, entre otros.
- El tiro con arco y el tiro también hacen uso de proyectiles.
Problemas de muestra
Problema 1: ¿Qué es un proyectil? Demostrar que la trayectoria de un proyectil es parabólica.
Solución:
Proyectil : Un proyectil es cualquier objeto lanzado al espacio sobre el que solo actúa la gravedad.
Sabemos que la ecuación del proyectil es, y = x tan θ – gx 2 /2u 2 cos 2 θ comparando la ecuación con y = ax + bx 2
Aquí, a = tanθ y b = – g/2u 2 cos 2 θ.
La ecuación de trayectoria anterior es similar a una parábola. Entonces se demuestra que la trayectoria de un proyectil es parabólica.
Problema 2: ¿A qué ángulo se debe proyectar el proyectil para que la altura y el alcance del proyectil sean iguales?
Solución:
Si la altura y el rango horizontal serán iguales que, H = R.
es decir
u 2 sen 2 θ/2g = u 2 sen 2θ/g
o
sen 2 θ = sen2θ [Aquí, sen2θ = 2 senθ cosθ y tanθ = senθ/cosθ]
tanθ = 4
Asi que,
θ = bronceado -1 (4)
Problema 3: Defina el alcance horizontal y encuentre el alcance de un proyectil lanzado a 98 m/s con un ángulo de 30 grados desde la horizontal. (g = 9,8 m/s 2 )
Solución:
Alcance horizontal: la distancia horizontal recorrida por el cuerpo que realiza el movimiento del proyectil se denomina alcance del proyectil.
Rango Horizontal, R = u 2 sen2θ/g
= (98) 2 × (60°) / 9,8
= 490√3 metros
Problema 4: Nombre las cantidades físicas que permanecerán sin cambios durante el movimiento del proyectil.
Solución:
La velocidad, el componente vertical del momento de la velocidad, la energía cinética y la energía potencial permanecen sin cambios durante el movimiento del proyectil.
Problema 5: ¿Cuál es la altura máxima que alcanza una bola de 100 g de masa lanzada con un ángulo de 30° desde el suelo con una velocidad inicial de 11 m/s y una aceleración debida a la gravedad de g = 10 m/s 2 ?
Solución:
Sabemos que la fórmula para la altura máxima es,
H = (usando θ) 2 /2g.
Dado,
u = 11 m/s, θ = 30°, g = 10 m/s 2
Por eso,
Poniendo los valores que obtenemos,
altura = 1,5125 m
Problema 6: Se lanza una pelota de fútbol en un ángulo de 45° desde el suelo con una velocidad inicial de 10 m/s; la aceleración de la gravedad es g = 10 m/s 2 . ¿Cuál es el tiempo de vuelo?
Solución:
Sabemos que la fórmula para calcular el tiempo de vuelo es,
t = 2(usando θ/g)
Dado, θ = 45°, u = 10 m/s, g = 10 m/s 2
Poniendo los valores que obtenemos,
t = 1,4142 s
Problema 7: Un proyectil se lanza desde el punto O en un ángulo de 30° con una velocidad inicial de 30 m/s. El proyectil golpea el suelo en el punto M. (Considere la aceleración de la gravedad g = 10 m/s 2 ) Halle lo siguiente:
- ¿Cuál es el tiempo total de vuelo?
- ¿Cuál es el Alcance Horizontal del proyectil (OM)?
- ¿Cuál es la altura máxima del proyectil?
Solución:
Dado,
Velocidad inicial u = 30 m/s.
El ángulo de proyección, θ = 30°.
1. Tiempo total de vuelo
Sabemos que el tiempo total de vuelo del proyectil está dado por:
t = 2 usando θ/g
Poniendo los valores dados,
t = 2 × 30 sin30°/10
= 3 segundos
2. Rango horizontal
Sabemos que la fórmula para el rango horizontal es:
R = u 2 sen2θ/g.
Poniendo los valores que obtenemos,
R = (30) 2 sen60° /10
= 45 √3 m.
3. Altura máxima
La altura máxima del proyectil viene dada por la fórmula:
H máx = u 2 sen 2 θ/2g
Poniendo los valores que obtenemos,
H máx = (30) 2 sen 2 30°/2 × 10
= 11,25 m.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por naimishsahu08 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA