Movimiento del Centro de Masa

El centro de masa es una propiedad importante de cualquier sistema de cuerpo rígido. Por lo general, estos sistemas contienen más de una partícula. Se hace imprescindible analizar estos sistemas en su conjunto. Para realizar cálculos de mecánica, estos cuerpos deben ser considerados como una sola masa puntual. El Centro de masa denota tal punto. A menudo, los sistemas mecánicos se mueven de manera transitoria o rotatoria. En ese caso, el centro de masa también se mueve y adquiere cierta velocidad y aceleración. Veamos cómo calcular estas métricas para tales sistemas en detalle.

Centro de masa

Se pueden simplificar muchos problemas si se supone que la masa del objeto se encuentra en un punto en particular. Si se elige la posición correcta, las ecuaciones de fuerzas y movimiento se comportan de la misma manera que si se aplicaran cuando la masa se distribuye. Esta ubicación especial se denomina el Centro de Masa .

Su posición se define en relación con un objeto o el sistema de objetos cuyo centro de masa se va a calcular. Por lo general, para formas uniformes, es su centroide. Para las formas que son simétricas y uniformes, su centro de masa está ubicado en su centroide. Para un anillo, su Centro de masa se encuentra dentro del anillo, lo que significa que no es necesario que el Centro de masa de un cuerpo se encuentre en el propio cuerpo.

Encontrar el centro de masa

Ahora, es claro que los cuerpos que son uniformes y simétricos tienen su Centro de masas en su baricentro. Pero para cuerpos que no son simétricos y uniformes, la respuesta no es tan simple. El centro de masa de tales cuerpos puede estar en cualquier lugar. Calcular el centro de masa de un objeto complejo. Se toma un promedio ponderado de las ubicaciones de cada masa del cuerpo.

Digamos que hay un cuerpo que consta de un conjunto de masas «m _i «, cada una en la posición r _i, la ubicación del centro de masa r _cm está dada por la siguiente fórmula.

Señor _cm = metro ₁ r ₁ + metro ₂ r ₂ + ….

⇒ r _cm = $\frac{ m_1r_1 + m_2r_2 + ...}{M}$

En este caso, M = $\sum m_i$ , que es la masa total del cuerpo.

La técnica anterior utiliza aritmética vectorial. Para evitar la aritmética vectorial, podemos encontrar el centro de masa del cuerpo a lo largo del eje x y el eje y respectivamente. Las fórmulas para este caso se dan a continuación:

_cm x = $\frac{ m_1x_1 + m_2x_2 + ...}{M}$

y _cm = $\frac{ m_1y_1 + m_2y_2 + ...}{M}$

Centro de gravedad

Por lo general, se supone que la gravedad es una fuerza uniforme que actúa sobre el cuerpo. El centro de gravedad es el punto en el que se supone que la gravedad actúa sobre el cuerpo. El Centro de gravedad está por lo tanto en el mismo lugar que el Centro de masa. En la literatura de física, los términos Centro de gravedad y Centro de masa se usan indistintamente. Quieren decir lo mismo.

Movimiento del Centro de Masa

Considere un sistema de múltiples partículas. Cada partícula de ese sistema se mueve a una velocidad diferente. ¿Cómo asignaría alguien una velocidad al sistema como un todo? Consideremos un sistema de partículas m1, m2, m3… y así sucesivamente. Los vectores de posición inicial de estas partículas son r ₁ , r ₂ , r ₃ …r _n . Ahora, estas partículas comienzan a moverse en las direcciones de sus vectores de posición. El objetivo es encontrar la velocidad y la dirección de la velocidad del centro de masa del sistema.

De la definición del centro de masa,

Señor _cm = metro ₁ r ₁ + metro ₂ r ₂ + ….

Dado que las partículas están en movimiento, están cambiando sus vectores de posición. Derivando la ecuación de ambos lados.

$\frac{d}{dr}(M\vec{r}) = \frac{d}{dr}(m_1\vec{r}_1 + m_1\vec{r}_2 + m_1\vec{r}_3 + ....m_1\vec{r}_n)$

⇒ $M\frac{d}{dr}(\vec{r}) = m_1\frac{d}{dr}(\vec{r}_1) + m_2\frac{d}{dr}(\vec{r}_2) + m_3\frac{d}{dr}\vec{r}_3 + ....$

⇒ $M\vec{v} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....$

⇒ $\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

De manera similar, si las partículas están bajo aceleración. La ecuación dada arriba se puede diferenciar nuevamente para encontrar la aceleración del Centro de masa del cuerpo.

$\vec{a} = \frac{m_1\vec{a_1} + m_2\vec{a_2} + m_3\vec{a_3}+ ....}{M}$

Problemas de muestra

Pregunta 1: Dos masas puntuales, m ₁ = 2Kg y m ₂ = 2Kg, se encuentran moviéndose a una velocidad de v ₁ = 2 m/s y v ₂ = 4 m/s respectivamente. Encuentre la velocidad del centro de masa.

Solución:

La fórmula para la velocidad del centro de masa está dada por,

$\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

m ₁ = 2 kg, m ₂ = 2 kg y v ₁ = 2 m/s y v ₂ = 6 m/s.

METRO = metro _{1 +} metro ₂

⇒ METRO = 2 + 2 = 4

$\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

⇒ $\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} }{M}$

⇒ $\vec{v} = \frac{(2)(2) + (2)(4) }{4}$

⇒ $\vec{v} = 3 \text{ m/s}$

Pregunta 2: Masas de dos puntos, m ₁ = 10Kg y m ₂ = 20Kg, se ubican moviéndose a una velocidad de v ₁ = 10 m/s y v ₂ = 5 m/s respectivamente. Encuentre la velocidad del Centro de masa.

Solución:

La fórmula para la velocidad del centro de masa está dada por,

$\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

m ₁ = 10Kg, \m ₂ = 30Kg y v ₁ = 10 m/s y v ₂ = 5 m/s.

METRO = metro _{1 +} metro ₂

⇒ METRO = 10 + 30 = 40

$\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

⇒ $\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} }{M}$

⇒ $\vec{v} = \frac{(10)(10) + (30)(5) }{40}$

⇒ $\vec{v} = 8.25 \text{ m/s}$

Pregunta 3: dos masas puntuales, m ₁ = 1 kg y m ₂ = 2 kg, tienen vectores de velocidad a = 6i + 4j y vector b = -5i + 2j respectivamente. Encuentre la velocidad del centro de masa.

Solución:

La fórmula para la velocidad del centro de masa está dada por,

$\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

m ₁ = 1Kg, m ₂ = 2Kg y a = 6i + 4j, b = -5i + 2j

METRO = metro _{1 +} metro ₂

⇒ METRO = 1 + 2 = 3

v _cm = $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

⇒v _cm = $\frac{ m_1\vec{a} + m_2\vec{b}}{M}$

⇒ v _cm = $\frac{ (1)(6\hat{i} + 4\hat{j} ) + (2)(-5\hat{i} + 2\hat{j})}{7}$

⇒ v _cm = $\frac{ 6\hat{i} + 4\hat{j} + -10\hat{i} + 4\hat{j})}{7}$

⇒ v _cm = $\frac{ -4\hat{i} + 8\hat{j} }{7}$

Pregunta 4: dos masas puntuales, m ₁ = 4 kg y m ₂ = 2 kg, se ubican moviéndose con vectores de velocidad a = i + j y vector b = -i + j respectivamente. Encuentre el centro de masa.

Solución:

La fórmula para la velocidad del centro de masa en notación vectorial está dada por,

v _cm = $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

m ₁ = 4Kg, m ₂ = 2Kg y a = i + j, b = -i + j

METRO = metro _{1 +} metro ₂

⇒ METRO = 4 + 2 = 6

v _cm = $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

⇒v _cm = $\frac{ m_1\vec{a} + m_2\vec{b}}{M}$

⇒ v _cm = $\frac{ (4)(\hat{i} + \hat{j} ) + (2)(\hat{i} -\hat{j})}{7}$

⇒ v _cm = $\frac{ 4\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{i} -2\hat{j})}{7}$

⇒ v _cm = $\frac{ 6\hat{i} + 2\hat{j} }{7}$

Pregunta 5: Un sistema que consta de dos masas tiene un impulso de 16 kgm/s y su centro de masa tiene una velocidad de 2 m/s. Una masa de 4 kg tiene una velocidad de 4 m/s. Encuentre la velocidad de la otra masa.

Solución:

La fórmula para la velocidad del centro de masa en notación vectorial está dada por,

v _cm = $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

m ₂ = ?, m ₁ = 4 kg, v ₂ = ? Y v ₁ = 4 m/s.

METRO = metro _{1 +} metro ₂

⇒ METRO = 4 + metro = 4 + metro

Mv _cm = 16

⇒ (metro + 4)(2) = 16

⇒ metro + 4 = 8

⇒m = 4Kg

Así, m ₂ = 4Kg.

Mv _cm = metro ₁ v ₁ + metro ₂ v ₂

⇒2(8) = (4)(4) + (4)v ₂

⇒ 16 = (4)(4) + (4)v ₂

⇒ 0 m/s = _v2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Centro de masa

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