Movimiento en tres dimensiones

Una partícula que se mueve en un espacio unidimensional requiere solo una coordenada para especificar su posición. De manera similar, en dos dimensiones, se requieren dos coordenadas. Los movimientos tridimensionales se encuentran en muchos lugares de la vida real para analizar estas situaciones de la vida real. Uno necesita entender el movimiento y cómo manejar estas tres coordenadas matemáticamente para describir las trayectorias de los objetos que viajan en un plano tridimensional. Veamos estos conceptos en detalle.

Movimiento en un espacio tridimensional

Supongamos que una partícula se mueve entre dos puntos en un espacio tridimensional. Para describir la posición de esta partícula, se requiere un vector de posición. Estos vectores son siempre con respecto al marco de referencia en el origen. Se requieren los siguientes parámetros para describir completamente el comportamiento de una partícula que se mueve en un plano,

Posición
Velocidad
Aceleración

Vector de posición

En un espacio tridimensional, una partícula puede estar en cualquier lugar, no puede ser descrita por una sola coordenada. En este caso, se denota con respecto al origen y también constituye la dirección en la que se debe ir para encontrar ese punto. Es por eso que se requiere un vector para describir la posición. El vector que denota la posición y la dirección de la posición de la partícula con respecto al origen se llama vector de posición. El vector $\vec{r}$ de posición de una partícula está dado por,

$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$

Donde x, y y z son sus componentes a lo largo del eje x, y y z.

Velocidad

La velocidad de una partícula que viaja en el espacio tridimensional se puede describir de dos maneras: velocidad promedio y velocidad instantánea. Cuando la partícula está bajo aceleración, cambia su velocidad cada segundo. Por lo tanto, no se puede asignar un solo valor a una velocidad. En tales casos, se prefiere la velocidad instantánea , describe la velocidad y su dirección en un instante particular. está dado por,

$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\\ = \vec{v} = \frac{dr}{dt}$

La velocidad también se puede expresar como,

$v = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k}$

La velocidad media es la relación entre el desplazamiento total y el tiempo total. Supongamos que una partícula va de $\vec{r}$ a $\vec{r'}$ en un tiempo total de $\Delta t$

La velocidad está dada por,

$\vec{v} = \frac{\vec{r} - \vec{r'}}{\Delta t}$

Aceleración

La aceleración de un cuerpo que se mueve en un plano está dada por la tasa de cambio en su velocidad. Similar a la velocidad, aquí también puede haber dos casos: aceleración promedio y aceleración instantánea. La aceleración media viene dada por la relación del cambio neto en la velocidad del objeto con el tiempo total empleado. Denotemos las velocidades inicial y final por $\vec{v}_{i}$ y $\vec{v_{f}}$

$\vec{v} = \frac{\vec{v_{f}} - \vec{v_{i}}}{\Delta t}$

La aceleración instantánea se usa cuando la aceleración del cuerpo cambia con el tiempo.

$\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\\ = \vec{a} = \frac{dv}{dt}$

Descomponiendo esto en sus componentes,

$a = \frac{dv_{x}}{dt}\hat{i} + \frac{dv_{y}}{dt}\hat{j} + \frac{dv_z}{dt}\hat{k}\\ = a = \frac{d^2x}{dt^2}\hat{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\hat{j} + \frac{d^2z}{dt^2}\hat{k}$

La magnitud de la aceleración también se puede calcular usando los componentes de la velocidad,

$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

Movimiento relativo en tres dimensiones

El movimiento relativo representa la velocidad de un cuerpo visto desde un marco de referencia. Estos conceptos se han conocido en forma de espacios unidimensionales y bidimensionales. Pero estos conceptos también pueden extenderse a espacios tridimensionales. En la siguiente figura, considere una partícula P y marcos de referencia S y S’. La posición del marco S’ medida en S es r _S’S , la posición de la partícula P medida con respecto al marco S’ está dada por r _PS’ y la posición de la partícula P con respecto al marco de referencia S viene dado por r _PS,

Observe en la figura que,

r _PS = r _PS’ + r _S’S

Estos vectores también nos dan la fórmula para las velocidades relativas, diferenciando la ecuación anterior,

$\frac{d}{dt}(r_{PS}) = \frac{d}{dt}(r_{PS'} + r_{S'S})$

⇒ $\vec{v}_{PS} = \vec{v}_{PS'} + \vec{v}_{S'S}$

Intuitivamente hablando, la velocidad de una partícula con respecto a S es igual a la velocidad de S’ con respecto a S más la velocidad de la partícula con respecto a S. Derivando de nuevo esta ecuación, la ecuación de la aceleración viene dada por,

$\frac{d}{dt}(\vec{v}_{PS}) = \frac{d}{dt}(\vec{v}_{PS'} + \vec{v}_{S'S})$

⇒ $\vec{a}_{PS} = \vec{a}_{PS'} + \vec{a}_{S'S}$

La aceleración de una partícula con respecto a S es igual a la aceleración de S’ con respecto a S más la aceleración de la partícula con respecto a S.

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentre la velocidad en t = 2, para la partícula que se mueve en un plano y cuya posición se da, r = t ² i + t ² j + tk

Responder:

Dados: los vectores de posición inicial y final,

r = t ² yo + t ² j + tk

La velocidad en este caso está dada por la fórmula,

$v = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k}$

Aquí x(t) = t ² y y(t) = t ² y z(t) = t

Reemplazando estos valores en la ecuación,

$v = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k} \\ v= \frac{d}{dt}(t^2)\hat{i} + \frac{d}{dt}(t^2)\hat{j} + \frac{d}{dt}(t) \hat{k}\\ v = 2t \hat{i} + 2t\hat{j} + \hat{k}$

En t = 2,

$v = 2t \hat{i} + 2t\hat{j} + \hat{k} \\ = v = 2(2)\hat{i} + 2(2)\hat{j} + \hat{k} \\ = v = 4\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$

Pregunta 2: Encuentre la velocidad en t = 0, para la partícula que se mueve en un plano y cuya posición se da, r = (t+2)i + (4t ² +2)j + t ² k

Responder:

Dados: los vectores de posición inicial y final,

r = (t+2)i + (4t ² +2)j + t ² k

La velocidad en este caso está dada por la fórmula,

$v = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k}$

Aquí x(t) = (t + 2) y y(t) = 4t ² + 2 y z(t) = t ²

Reemplazando estos valores en la ecuación,

$v = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k} \\ v= \frac{d}{dt}(t + 2)\hat{i} + \frac{d}{dt}(4t^2 + 2)\hat{j} + \frac{d}{dt}(t^2) \hat{k}\\ v = \hat{i} + 8t\hat{j} + 2t\hat{k}$

En t = 0,

$v = \hat{i} + 8t\hat{j} + 2t\hat{k}$

⇒ $v = \hat{i} + 8(0)\hat{j} + 2(0)\hat{k}$

⇒ v = yo

Pregunta 3: Encuentra la aceleración promedio entre t = 0 y t = 3, para la partícula que se mueve en un plano y cuya posición se da, v = 3ti + 3t ³ j + k

Responder:

Dado: la velocidad en función del tiempo.

v = 3ti + 3t ³ j + k

El vector de velocidad cambia con el tiempo. La aceleración media viene dada por la fórmula,

$\vec{a} = \frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\Delta t}$

En t = 0

v _yo = 0i + 0j + k

En t = 3

v _f = 9i + 81j + k

$\Delta t = 3$

Reemplazando los valores en la ecuación anterior,

$\vec{a} = \frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\Delta t}\\ = \vec{a} = \frac{9\hat{i} + 81\hat{j}}{3} \\ = \vec{a} = 3\hat{i} + 27\hat{j}$

Pregunta 4: Encuentra la aceleración promedio entre t = 0 y t = 2, para la partícula que se mueve en un plano y cuya posición se da, v = ti + 3tj + 2k

Responder:

Dado: la velocidad en función del tiempo.

v = ti + 3tj + 2k

El vector de velocidad cambia con el tiempo. La aceleración media viene dada por la fórmula,

$\vec{a} = \frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\Delta t}$

En t = 0

v _yo = 0i + 0j + 2k

En t = 2

v _f = 2i + 6j + 2k

$\Delta t = 2$

Reemplazando los valores en la ecuación anterior,

$\vec{a} = \frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\Delta t}\\ = \vec{a} = \frac{2\hat{i} + 6\hat{j}}{2} \\ = \vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$

Pregunta 5: Encuentre la aceleración instantánea en t = 1, para la partícula que se mueve en un plano y cuya posición se da, v = 2ti + 5t ³ j + tk

Responder:

Dado: la velocidad en función del tiempo.

v = 2ti + 5t ³ j + tk

El vector de velocidad cambia con el tiempo. La aceleración instantánea viene dada por la fórmula,

$\vec{a} = \frac{d}{dt}(\vec{v})$

$\vec{a} = \frac{d}{dt}(2t\hat{i} + 5t^3\hat{j} + t\hat{k})$

⇒ $\vec{a} = 2\hat{i} + 15t^2\hat{j} + \hat{k}$

en t = 1,

⇒ $\vec{a} = 2\hat{i} + 15(1)^2\hat{j} + \hat{k}$

⇒ $\vec{a} = 2\hat{i} + 15\hat{j} + \hat{k}$