Al analizar el movimiento de un cuerpo en un círculo vertical, debemos tener en cuenta la gravedad. Las magnitudes de la velocidad del cuerpo y la tensión en la cuerda fluctúan continuamente debido al impacto del campo gravitatorio terrestre. En la posición más baja es máxima y en la posición más alta es mínima. Como resultado, el movimiento circular en un círculo vertical no es uniforme.
Expresión para la velocidad del cuerpo que se mueve en un círculo vertical
Considere un cuerpo diminuto con masa ‘m’ que se arremolina en un círculo vertical con radio ‘t’ por un extremo de una cuerda. La aceleración del cuerpo aumenta a medida que desciende por el círculo vertical y disminuye a medida que asciende por el círculo vertical en este ejemplo. Como resultado, la velocidad del cuerpo cambia constantemente.
Alcanza su máximo en la parte inferior del círculo vertical y su mínimo en la parte superior. Como resultado, el cuerpo no se mueve circularmente. El peso ‘mg’ siempre opera verticalmente hacia abajo, independientemente de dónde se encuentre la partícula en el círculo.
Movimiento en un círculo vertical
Sea ‘L’ el punto más bajo del círculo vertical.
Sea ‘u’ la velocidad del cuerpo en L.
Sea ‘v’ la velocidad del cuerpo en cualquier punto P de un círculo vertical.
Sea ‘h’ la distancia entre el punto P y el punto L.
Por la ley de conservación de la energía,
La energía en el punto P = Energía en el punto L
(½) mv 2 + mgh = (½) mu 2
v 2 + 2 gh = tu 2
v 2 = tu 2 – 2 g
v = √(u 2 – 2 g)
Esta es una ecuación para la velocidad de una partícula en cualquier punto de un círculo vertical mientras se mueve en un movimiento circular.
Expresión para tensión en cuerda en movimiento de cuerpo en círculo vertical
Considere la fuerza centrípeta en el punto P.
T – mg cos θ = mv 2 ⁄ r
T = mg cos θ + mv 2 ⁄ r
De la figura, cos θ = (r – h) ⁄ r
Sustituir en la ecuación de T.
T = mg (r – h) ⁄ r + mv 2 ⁄ r
= metro ⁄ r (g (r – h) + v 2 )
Pero v 2 = u 2 – 2 gh
T = metro ⁄ r (gr – gh + tu 2 – 2 gh)
= metro ⁄ r (u 2 – 3 gh + gr)
Esta es una ecuación para la tensión en una cuerda .
Casos especiales de tensión
Caso 1: Cuando el cuerpo está en la posición más baja (h = 0)
Tenemos,
T = metro ⁄ r (u 2 – 3 gh + gr)
En el punto L (h = 0)
T L = metro ⁄ r (u 2 – 3 gramo (0) + gramo)
= metro ⁄ r (u 2 + gramo)
Caso 2: Cuando el cuerpo está en la posición más alta (h = 2 r)
Tenemos,
T = metro ⁄ r (u 2 – 3 gh + gr)
En el punto H (h = 2 r)
T H = metro ⁄ r (u 2 – 3 g (2 r) + gr)
= metro ⁄ r (u 2 – 5 gr)
Caso 3: Cuando la cuerda es horizontal (h = r)
T = metro ⁄ r (u 2 – 3 gh + gr)
En el punto M (h = r)
T METRO = metro ⁄ r (u 2 – 3 gramo (r) + gramo)
= metro ⁄ r (u 2 – 2 gr)
Relación entre la tensión en el punto más alto y en el punto más bajo
T L – T H = metro ⁄ r (u 2 + gr) – metro ⁄ r (u 2 – 5 gr)
= mu 2 ⁄ r + mg – mu 2 ⁄ r + 5 mg
= 6 miligramos
Como resultado, la tensión en la cuerda en el punto más bajo L es seis veces mayor que la tensión en la posición más alta H.
Velocidad mínima del cuerpo en diferentes posiciones al hacer un bucle
(1) En el punto más bajo L (h = 0)
Esta es la velocidad del cuerpo más baja necesaria para que el cuerpo dé la vuelta a un bucle, o viaje alrededor del círculo una vez por completo. Por lo tanto, en el punto más alto, la tensión debe ser mayor que 0.
J > 0
m ⁄ r (u 2 – 5 gr) > 0
u 2 – 5 gr > 0
2 > 5gr
u > √(5 gramos)
Esta es la velocidad mínima requerida en el punto más bajo del círculo vertical.
(2) En el punto más alto H (h = 2r)
Tenemos,
v = √(u 2 – 2 g)
= √(5 gr – 2 gr (2 r))
= √(5 gr – 4 gr)
= √(gr)
(3) Cuando la cuerda es horizontal (h = r)
Tenemos,
v = √(u 2 – 2 g)
= √(5 gr – 2 gr)
= √(3 gramos)
Esta es la velocidad mínima requerida cuando la cuerda está horizontal.
- Si la velocidad del cuerpo es tal que v < √(2 gr) , entonces el cuerpo oscila alrededor del punto más bajo del círculo vertical .
- Si la velocidad del cuerpo es tal que √(2 gr) < v < √(5 gr) , entonces el cuerpo sale de la trayectoria circular y actúa como un proyectil . Dejará un movimiento circular entre la horizontal y el punto más alto.
Energía del cuerpo moviéndose en un círculo vertical
La energía del cuerpo tiene dos partes: Energía Cinética y Energía Potencial .
(1) En el punto más bajo L (h = 0)
Energía cinética, E K = (1⁄2) mv 2
= (1⁄2) m (√(5 gr)) 2
= (5⁄2) mgr
Energía potencial, EP = mgh
= miligramos (0)
= 0
Energía total, E T = E K + E P
= (5⁄2) mgr + 0
= (5⁄2) mgr
(2) En el punto más alto H (h = 2r)
- Energía cinética , E K = (1⁄2) mv 2
= (1⁄2) m (√(gr)) 2
= (1⁄2) mgr
- Energía potencial , EP = mgh
= miligramos (2r)
= 2 miligramos
- Energía total, E T = E K + E P
= (1⁄2) mgr + 2 mgr
= (5⁄2) mgr
(3) Cuando la cuerda es horizontal (h = r)
- Energía cinética , E K = (1⁄2) mv 2
= (1⁄2) m (√(3 gr)) 2
= (3⁄2) mgr
- Energía potencial , EP = mgh
= mg (r)
= director
- Energía total , E T = E K + E P
= (3⁄2) mgr + mgr
= (5⁄2) mgr
El punto más bajo de la ruta circular tiene la mayor energía cinética, mientras que el punto más alto tiene la menor. La cantidad total de energía se conserva.
Problemas de muestra
Problema 1: Una piedra que pesa 2 kg se hace girar en un círculo vertical en el extremo de una cuerda de 1 m de longitud. Encuentre la velocidad de una piedra en:
a) la posición más baja
b) a mitad de camino cuando la cuerda es horizontal
c) la posición más alta para completar el círculo.
Solución:
Dado:
Radio de trayectoria circular, r = 1 m
Masa del cuerpo, m = 2 kg
Gravedad, g = 9,8 m ⁄ s 2
a) Velocidad en el punto más bajo, v L = √(5 gr)
= √(5 × 9,8 × 1) metro ⁄ s
= 7 metro ⁄ s
b) Cuando la cuerda es horizontal, v M = √(3 gr)
= √(3 × 9,8 × 1) metro ⁄ s
= 5,42 m ⁄ s
c) Velocidad en el punto más alto, v H = √(gr)
= √(9,8 × 1) metro ⁄ s
= 3,13 m ⁄ s
Por lo tanto, la velocidad en el punto más bajo es de 7 m ⁄ s , cuando la cuerda es horizontal es de 5,42 m ⁄ s y la velocidad en el punto más alto es de 3,13 m ⁄ s .
Problema 2: Una piedra que pesa 2 kg se hace girar en un círculo vertical en el extremo de una cuerda de 1 m de longitud. Encuentre la tensión en la cuerda en:
a) la posición más baja
b) a mitad de camino cuando la cuerda es horizontal
c) la posición más alta para completar el círculo.
Solución:
Dado:
Radio de trayectoria circular, r = 1 m
Masa del cuerpo, m = 2 kg
Gravedad, g = 9,8 m ⁄ s2
a) Tensión en el punto más bajo, T L = m ⁄ r (u 2 + gr)
= metro ⁄ r (5 gr + gr)
= 6 miligramos
= 6 × 2 × 9,8 N
= 117,6N
b) Cuando la cuerda es horizontal, T M = m ⁄ r (u 2 – 2 gr)
= metro ⁄ r (5 gr – 2 gr)
= 3 miligramos
= 3 × 2 × 9,8 N
= 58,8N
c) Tensión en el punto más alto, T H = m ⁄ r (u 2 – 5 gr)
= m ⁄ r (5 gr – 5 gr)
= 0 norte
Por lo tanto, la tensión en el punto más bajo es de 117,6 N , cuando la cuerda es horizontal es de 58,8 N y la tensión en el punto más alto es de 0 N.
Problema 3: Un objeto de 2 kg de masa atado a una cuerda de 1 m de largo se hace girar en un círculo vertical con velocidad angular constante si la tensión máxima en la cuerda es de 10 kg wt. Calcular la velocidad del objeto.
Solución:
Dado:
Masa del objeto, m = 2 kg,
Radio del círculo, r = 1 m,
Tensión en la cuerda, T = 10 kg wt
= 10 × 9,8 N
= 98 norte
La tensión en un círculo vertical es máxima en el punto más bajo.
T máx = mv 2 ⁄ r + mg
= metro (v 2 ⁄ r + g)
v 2 ⁄ r + gramo = T máx ⁄ metro
v = √(r (T máx ⁄ m – g))
= √(1 (98 ⁄ 2 – 9.8)) metro ⁄ s
= √39,2 m ⁄ s
= 6,26 m ⁄ s
Por lo tanto, la velocidad del objeto es 6,26 m ⁄ s .
Problema 4: Averigüe el punto en un camino en el que una partícula puede tener tensión cero en un círculo vertical de radio ‘r’.
Solución:
Sea T la tensión en la cuerda en el punto más alto.
La velocidad mínima requerida por la partícula en el punto más alto para completar el movimiento circular vertical es √ (gr).
Ecuación de equilibrio
mv 2 ⁄ r = T + mg
m (gr) ⁄ r = T + mg
mg = T + mg
t = 0
Por lo tanto, la tensión puede ser cero en el punto más alto .
Problema 5: Un automóvil se mueve sobre una pista circular plana de 100 m de radio con una velocidad constante de 40 m ⁄ s. Si el automóvil pesa 500 kg, averigüe la fuerza centrípeta que actúa sobre el automóvil.
Solución:
Dado:
Masa del coche, m = 500 kg
Radio de la pista, r = 100 m
Velocidad del carro, v = 40 m ⁄ s
Velocidad angular, ω = v ⁄ r
= 40 ⁄ 100
= 0,4 rad ⁄ s
Fuerza centrípeta sobre el carro, F c = mr ω 2
= 500 × 100 × (0,4) 2 N
= 8000N
Por lo tanto, la fuerza centrípeta sobre el automóvil es de 8000 N.