movimiento rodante – Barcelona Geeks

Considere los cuerpos extendidos como cuerpos rígidos y puede resolver muchos problemas con ellos. Un cuerpo rígido es aquel que tiene una forma definida con precisión y que no cambia. Las distancias entre todos los pares de partículas en un cuerpo como este permanecen constantes. Debido a que los cuerpos reales se flexionan bajo el impacto de las fuerzas, esta definición de cuerpo rígido muestra que ningún cuerpo real es genuinamente rígido. Sin embargo, en muchos casos, las deformaciones son insignificantes. Por otro lado, podemos pasar por alto el hecho de que cuerpos como ruedas, trompos, vigas de acero, moléculas y planetas se deforman (torcen fuera de forma), se doblan o vibran en una variedad de situaciones y los perciben como sólidos.

El movimiento de balanceo es uno de los movimientos más frecuentes que se ven en la vida cotidiana. Hay un movimiento de balanceo en todas las ruedas que se usan en el transporte, como automóviles, autobuses, trenes, aviones, bicicletas, carretas de búfalos y hay muchas cosas que tienen ruedas adheridas a ellas, como los carritos. Para mayor claridad, comencemos con el ejemplo de un disco, pero el resultado se aplica a cualquier cuerpo rodante que ruede sobre una superficie nivelada. Se supone que el disco no se desliza cuando rueda. Esto implica que la parte inferior del disco en contacto con la superficie plana está en reposo sobre la superficie en un momento dado.

¿Qué es el movimiento rodante?

El movimiento de balanceo contiene dos tipos de movimiento, o es una combinación de dos tipos de movimiento de traslación y rotación . El movimiento de traslación de un cuerpo es el movimiento del centro de masa.

Durante el movimiento de balanceo de un cuerpo, las superficies que entran en contacto se deforman levemente, y esa deformación es temporal, es decir, cuando el área de ambos cuerpos entra en contacto entre sí, resulta en una deformación temporal del cuerpo. Este fenómeno tiene el efecto de impacto llamado fricción que es la componente de la fuerza de contacto paralela a la superficie que resiste el movimiento.

(1) Movimiento de traslación

El movimiento de traslación es un tipo de movimiento en el que todas las partes del cuerpo se mueven la misma distancia en la misma cantidad de tiempo. Hay dos formas de movimiento de traslación: rectilíneo y curvilíneo.

Se dice que un movimiento es rectilíneo cuando un cuerpo en movimiento de traslación se mueve en línea recta. Por ejemplo, un automóvil que circula por una carretera recta, un tren que circula por una vía recta.
El movimiento curvilíneo describe el movimiento de un cuerpo en movimiento de traslación que se mueve a lo largo de una trayectoria curva. Por ejemplo, girar un coche.

(2) movimiento de rotación

El movimiento de un cuerpo en una trayectoria circular alrededor de un punto fijo en el espacio, también, el movimiento de un cuerpo que no se deforma ni cambia de forma en el que todas sus partículas se mueven en círculos alrededor de un eje con una velocidad angular común. Por ejemplo, el movimiento de la tierra sobre su propio eje, el movimiento de una rueda de vehículos, engranajes, motores, etc.

Expresión para movimiento rodante

El movimiento rodante (sin resbalar) de una rueda sobre una superficie nivelada.

Sea la velocidad del centro de masa de la rueda v _cm , que es su velocidad de traslación. Como el centro de masa de la rueda rodante está en su centro geométrico C, v _cm es la velocidad de C. Es paralela a la superficie plana. La rueda gira a lo largo de su eje simétrico, que pasa por el centro de C. Como resultado, la velocidad de cada punto del disco, como P ₀ y P ₁ , o P ₂ , se compone de dos partes que son las la velocidad de traslación v _cm y la velocidad lineal v _r debida a la rotación.

La magnitud de v _r es v _r = ωr , donde r es la distancia entre el punto y el eje y ω es la velocidad angular de rotación de la rueda alrededor del eje. Con respecto a C, la velocidad v _r es perpendicular al radio vector del punto dado wrt C. v _r es perpendicular a CP ₂ en este caso.
Es simple demostrar que v ₂ es perpendicular a la línea P ₀ P ₂ . Como resultado, el eje instantáneo de rotación se define como una línea que pasa por P ₀ y es paralela a ω.
Debido a la rotación, la velocidad lineal, v _r es exactamente opuesta a la velocidad de traslación, v _cm , en el punto P ₀ . Además, la magnitud de v _r , en este caso, es Rω, donde R es el radio de la rueda.
La condición de que P ₀ esté instantáneamente en reposo requiere v _cm = Rω . Así, para la rueda, la condición de rodar sin deslizar es v _cm = Rω .
Esto también significa que la velocidad del punto P ₁ en la parte superior de la rueda v ₁ es v _cm + R o 2 v _cm y es paralela a la superficie plana.

Energía cinética del movimiento rodante

La energía cinética de un cuerpo rodante se puede dividir en dos tipos: energía cinética de traslación y de rotación. La energía cinética de un sistema de partículas (K) se puede dividir en la energía cinética del movimiento del centro de masa (traslación) (MV 2/2 ⁾ y la energía cinética del movimiento de rotación alrededor del centro de masa del sistema (K′ ). Por lo tanto,

$K = K'+ \frac{MV^2}{2}$

La energía cinética del centro de masa del cuerpo rodante, es decir, la energía cinética de traslación, es m(v _cm ) ² /2, donde m es la masa del cuerpo y v _cm es la velocidad del centro de masa.

El movimiento del cuerpo rodante alrededor de su centro de masa K′ es la energía cinética de rotación del cuerpo K′ = Iω ² /2 , donde I es el momento de inercia alrededor del eje adecuado, que es el eje de simetría del cuerpo rodante. Por lo tanto, la energía cinética de un cuerpo rodante viene dada por

$K=\frac{ Iω^2}{2}+\frac{mv_{cm}^2}{2}$

Sustituya I = mk ² donde k es el radio correspondiente de un cuerpo en movimiento rápido y ω=v _cm /R donde R es el radio del cuerpo en movimiento circular.

$K=\frac{1}{2}\frac{ mk^2v_{cm}^2}{R}+\frac{1}{2}mv_{cm}^2\\ K=\frac{1}{2}mv_{cm}^2\left(\frac{k^2}{R^2}+1\right)$

Tipos de movimiento de un cuerpo rígido

Veamos algunos ejemplos de movimiento de cuerpo rígido. Comencemos con un bloque rectangular que se desliza por un plano inclinado sin moverse hacia los lados. El bloque se trata como si fuera un cuerpo rígido. Su recorrido por el plano es tal que todas las partículas del cuerpo se mueven al unísono, es decir, tienen la misma velocidad en todo momento. El cuerpo rígido está en puro movimiento de traslación en esta escena.

Movimiento de traslación (deslizamiento) de un bloque por un plano inclinado. (Cualquier punto como P ₁ o P ₂ del bloque se mueve con la misma velocidad en cualquier instante de tiempo).

Considere cómo un cilindro sólido metálico o de madera podría rodar por el mismo plano inclinado. El cilindro se desplaza desde la parte superior a la inferior del plano inclinado, dando la impresión de un movimiento de traslación. Sin embargo, como se ve en todas sus partículas, no viajan a la misma velocidad en un momento dado. Como resultado, el cuerpo no se mueve con un verdadero movimiento de traslación. Se mueve en una combinación de un movimiento de traslación y algo más.

El movimiento de rodadura de un cilindro. No es un movimiento de traslación de éxtasis puro. Los puntos P ₁ , P ₂ , P ₃ y P ₄ tienen diferentes velocidades (mostradas por flechas) en cualquier instante de tiempo. De hecho, la velocidad del punto de contacto P3 es cero en cualquier instante, si el cilindro rueda sin deslizarse.

Fijar un cuerpo rígido a lo largo de una línea recta es el enfoque más común para evitar que tenga un movimiento de traslación. La rotación es el único movimiento factible para un cuerpo tan rígido. El eje de rotación es la línea o eje fijo alrededor del cual gira el cuerpo. Por ejemplo, un ventilador de techo, una rueda de alfarero, una rueda gigante en una feria, etc. Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, cada una de sus partículas se mueve en un círculo que existe en un plano perpendicular al eje y tiene su centro en el eje. Sin embargo, en casos raros de rotación, el eje puede no estar fijo. Un trompo girando en su lugar es un buen ejemplo de este tipo de rotación. A través de su punto de contacto con el suelo, el eje de dicha peonza gira alrededor de la vertical, formando un cono.

Rotación sobre un eje fijo de un ventilador de techo.

Si un cuerpo rígido no pivota ni está sujeto de ninguna manera, su movimiento es una traslación pura o una combinación de traslación y rotación. El movimiento de un cuerpo rígido que pivota o está fijo de alguna manera se llama rotación. La rotación podría ser fija, como con un ventilador de techo, o móvil, como con un ventilador de mesa oscilante.

un trompo

Problemas de muestra

Problema 1: Tres cuerpos, un anillo, un cilindro macizo y una esfera maciza ruedan por el mismo plano inclinado sin resbalar. Parten del reposo. Los radios de los cuerpos son idénticos. ¿Cuál de los cuerpos llega al suelo con máxima velocidad?

Solución:

Según la conservación de la energía del cuerpo rodante, es decir, no hay pérdida de energía por fricción. . La energía potencial que pierde el cuerpo al rodar por el plano inclinado es PE= mgh, por lo tanto, será igual a la energía cinética ganada. Los cuerpos parten del reposo la energía cinética ganada es igual a la energía cinética final de los cuerpos.

La expresión de la energía cinética es

$K=\frac{1}{2}mv^2\left(\frac{k^2}{R^2}+1\right)$

donde v es la velocidad final del centro de masa del cuerpo.

Igualar K y mgh,

$mgh=\frac{1}{2}mv^2\left(\frac{k^2}{R^2}+1\right)\\ or\text{ }v^2=\frac{2gh}{\left(\frac{k^2}{R^2}+1\right)}$

Aquí, la velocidad es independiente de la masa del cuerpo rodante,

por un anillo,k ² = R ² , por lo tanto la expresión se puede escribir como

$v_{ring}^2=\frac{2gh}{\left(1+1\right)}\\ v_{ring}^2=\frac{2gh}{2}\\v_{ring}^2=gh\\ v_{ring}=\sqrt{gh}$

Para un cilindro sólido r k ² = R ² /2 , por lo tanto,

$v_{disc}^2=\frac{2gh}{\left(\frac{1}{2}+1\right)}\\ v_{disc}^2=\frac{2gh}{\left(\frac{3}{2}\right)}\\ v_{disc}^2=\frac{4gh}{3}\\ v_{disc}=\sqrt{\frac{4gh}{3}}$

Ahora para una esfera sólida k ² = 2R ² /5 , por lo tanto,

$v_{sphere}^2=\frac{2gh}{\left(\frac{2}{5}+1\right)}\\ v_{sphere}^2=\frac{2gh}{\left(\frac{7}{5}\right)}\\ v_{sphere}^2=\frac{10gh}{7}\\ v_{sphere}=\sqrt{\frac{10gh}{7}}$

Los resultados muestran que la esfera tiene la mayor y el anillo tiene la menor velocidad del centro de masa en la parte inferior del plano inclinado.

Problema 2: Encuentre el momento de inercia de una esfera con respecto a una tangente a la esfera, dado que el momento de inercia de la esfera con respecto a cualquiera de sus diámetros es 2 MR2/5, donde M es la masa de la esfera y R es la radio de la esfera. (b) Dado el momento de inercia de un disco de masa M y radio R con respecto a cualquiera de sus diámetros a 1 sea 1/4 MR2, encuentre el momento de inercia con respecto a un eje normal al disco que pasa por un punto en su borde.

Solución:

(a) Momento de inercia de la esfera con respecto a cualquier diámetro = 2/5 MR2

Aplicando el teorema de los ejes paralelos,

Momento de inercia de la esfera con respecto a una tangente a la esfera = 2/5 MR2 +M(R)2

=7/5 MR2

(b) Dado,

La expresión del momento de inercia del disco con respecto a cualquiera de sus diámetros se puede escribir como

L= 1/4 MR2

(i) Utilizando el teorema de los ejes perpendiculares, el momento de inercia del disco con respecto a un eje que pasa por su centro y normal al disco se puede escribir como

I= 2 x 1/4 MR2

I = 1/2 MR2.

(ii) Usando los ejes del teorema, el momento de inercia del disco que pasa por un punto en su borde y normal a los dados se puede escribir como

I = 1/2 MR2+ MR2

I = 3/2 MR2.

Problema 3: Se aplica la misma magnitud de par a un cilindro hueco y una esfera sólida, ambos con la misma masa y radio. El cilindro puede girar libremente sobre su eje estándar de simetría, y la esfera puede girar libremente sobre un eje que pasa por su centro. ¿Cuál de los dos adquirirá una mayor velocidad angular después de un tiempo dado?

Solución:

Sea R el radio del cilindro hueco y la esfera sólida y la masa M .

Los momentos de inercia del cilindro hueco sobre los ejes respectivos son I ₁ = MR ²

Y los momentos de inercia de la esfera sólida respecto a los respectivos ejes I ₂ = (2/5) MR ²

Sea τ la magnitud del par aplicado al cilindro ya la esfera, que producen aceleraciones angulares α ₁ y α ₂ .

Entonces, la magnitud del par se puede expresar como

τ = yo ₁ α ₁ = yo ₂ α ₂

La esfera tiene mayor aceleración angular. Por lo tanto, la esfera adquirirá mayor velocidad angular después de un tiempo dado.

Problema 5: Un anillo de masa m y radio R tiene tres partículas unidas al anillo como se muestra en la figura. El centro del anillo tiene una velocidad v ₀ . Si la energía cinética del sistema es xmv ₀² . Encuentra x (el deslizamiento está ausente)

Solución:

La expresión para el movimiento de balanceo cuando el deslizamiento está ausente es,

$v_0=R\omega_0$

Ahora la velocidad de la partícula de 2m colocada en el lado izquierdo es

$\sqrt{v_0^2+(R\omega_0)^2}\\ \sqrt{v_0^2+v_0^2}\\ \sqrt{2}v_0$

La velocidad de la partícula m colocada en el lado derecho es

$\sqrt{v_0^2+(R\omega_0)^2}\\ \sqrt{v_0^2+v_0^2}\\ \sqrt{2}v_0$

La velocidad de la partícula m colocada en la parte superior es

$v_0+R\omega_0\\ v_0+v_0\\2v_0$

La energía cinética colocada a la izquierda, derecha y arriba es

$K.E =\frac{1}{2}\times2m(\sqrt{2}v_0)^2+\frac{1}{2}\times{m}(\sqrt{2}v_0)^2+\frac{1}{2}\times{m}(2v_0)^2\\ K.E =2mv_0^2+mv_0^2+2mv_0^2\\ K.E=5mv_0^2$

La energía cinética del anillo es

KE = energía cinética de rotación + energía cinética de traslación.

$K.E =\frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv_0^2$

Sustituya I = mR ² y ω = v ₀ /R en la ecuación anterior,

$K.E =\frac{1}{2}mR^2\left(\frac{v_0}{R}\right)^2+\frac{1}{2}mv_0^2\\ K.E =mv_0^2$

La energía cinética total es

$K.E =5mv_0^2+mv_0^2\\ K.E =6mv_0^2$

Por lo tanto, el valor de x es 6 .