Multiplicadores de Lagrange

Uno de los principales problemas a los que se enfrentan los ingenieros es el problema de la optimización de una determinada función. Las matemáticas nos brindan una hermosa manera de resolver tales problemas. Este método se conoce como el Método de los Multiplicadores de Lagrange .

Entonces, ¿cómo y cuándo aplicar? Hay ciertas condiciones. Suponga que tiene el siguiente problema:
encuentre las coordenadas del punto en el plano 2x + 3y – 5z = 1 que está a la menor distancia del origen.

Entonces, la función que desea optimizar es,

√(x2 + y2 + z2),
Let this be f(x, y, z) 

Pero tenemos una restricción; el punto debe estar en el plano dado. Por lo tanto, esta ‘función de restricción’ generalmente se denota por g (x, y, z). Pero antes de aplicar el método del multiplicador de Lagrange, debemos asegurarnos de que g (x, y , z) = c donde ‘c’ es una constante. En esta situación,

g(x, y, z) = 2x + 3y - 5z

De hecho, es igual a una constante que es ‘1’. Por lo tanto, podemos aplicar el método.

Ahora el procedimiento es resolver esta ecuación:

∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z)

donde λ es un número real.

Esto nos da 3 ecuaciones y la cuarta ecuación es, por supuesto, nuestra función de restricción g(x, y, z). Resuelva para x, y, z y λ.

Un ejemplo lo aclarará.

Ejemplo:
Encuentre los valores máximo y mínimo de f(x, y, z) = 3x ² + y sujeto a la restricción,

4x - 3y = 9 
and x2 + z2 = 9

.

Este ejemplo se ha tomado deliberadamente para enseñarle qué hacer en caso de que haya más de una función de restricción. En tales casos, asuma tantas constantes arbitrarias como el número de funciones de restricción y escriba la ecuación en la forma:

∇f(x, y, z) = c1∇g(x, y, z) + c2∇h(x, y, z) + c3∇p(x, y, z) ... ...

donde c _i para i=1, 2, 3… son solo números reales y g, h, p son funciones de restricción.

Ahora, si obtiene más de un triplete, averigüe cuál representa un máximo y cuál representa un mínimo satisfaciéndolo en la función a optimizar y compare los valores. En esta pregunta, la respuesta sería:

Maximum for (-2/√13, 3/√13, -2 - 7/√13) and 
Minimum for (2/√13, -3/√13, -2 + 7/√13)