Números – Part 11

TIPOS DE NÚMEROS 
 

1. Enteros: Todos los números cuya parte fraccionaria es 0 (cero) como -3, -2, 1, 0, 10, 100 son enteros.
2. Números naturales : contar números como 1, 2, 3, 4, 5, 6… Básicamente, todos los números enteros mayores que 0 son números naturales.
3. Números enteros: Todos los números naturales y el 0 (cero) son números enteros.
4. Números primos : todos los números que tienen solo dos factores distintos, el número mismo y el 1, se llaman números primos. Algunos números primos son 2, 3, 53, 67 y 191.
5. Número compuesto : Todos los números mayores que 1 que NO son primos son números compuestos. Algunos números compuestos son 4, 60, 91 y 100.

PUNTOS IMPORTANTES SOBRE LOS NÚMEROS PRIMOS 
 

• 1 no es ni primo ni compuesto.
• 2 es el único número primo par.
• Hay 25 números primos menores que 100. Son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
• Para verificar si un número ‘p’ es primo, encuentre un número ‘n’ tal que ‘n’ sea el número natural más pequeño que satisface n ²  >= p. Ahora, comprueba si ‘p’ es divisible por alguno de los números primos menores o iguales que ‘n’. Si ‘p’ NO es divisible por ninguno de esos números primos, ‘p’ es un número primo. De lo contrario, p no es un número primo.
• Coprimos: Dos números ‘a’ y ‘b’ se llaman coprimos si su máximo común divisor (FCC) es 1.

PRUEBAS DE DIVISIBILIDAD 
 

• Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 si el último dígito es 0, 2, 4, 6, 8.
• Divisibilidad por 3 : un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, 12321 es divisible por 3 porque 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 y 9 es divisible por 3.
• Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si los dos últimos dígitos son divisibles por 4. Por ejemplo, 1234 no es divisible por 4 ya que los dos últimos dígitos 34 no es divisible por 4. Pero, 1232 es divisible por 4 como el los dos últimos dígitos 32 es divisible por 4.
• Divisibilidad por 5 : un número es divisible por 5 si el último dígito es 0 o 5.
• Divisibilidad por 6 : un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3. Por ejemplo, 114 es divisible por 6 ya que es divisible por 2 (el último dígito es 4) y 3 (1+1+4= 6, 6 es divisible por 3).
• Divisibilidad por 7 : un número es divisible por 7 si se realizan repetidamente los siguientes pasos hasta que un solo dígito deja el dígito único como 0 o 7. (1) Elimina el último dígito. (2) Reste el doble del último dígito del número obtenido después del paso 1 (número al que se le quitó el último dígito). Ejemplo, el número dado es 196. Después de eliminar el último dígito, obtenemos 19. Después de restar 12 (el doble del dígito eliminado), obtenemos 7. Dado que el último dígito de la izquierda es 7, el número es múltiplo de 7.
• Divisibilidad por 8 : Un número es divisible por 8 si los últimos tres dígitos son divisibles por 8. Por ejemplo, 1234 no es divisible por 8 ya que los últimos tres dígitos 234 no es divisible por 8. Pero, 1232 es divisible por 8 como el los últimos tres dígitos 232 es divisible por 8.
• Divisibilidad por 9 : un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9. Por ejemplo, 12321 es divisible por 3 porque 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 y 9 es divisible por 9.
• Divisibilidad por 11 : un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de los números en las posiciones pares y las posiciones impares es 0 o un múltiplo de 11.

NOTA: Si ‘p’ y ‘q’ son coprimos y tenemos un número ‘n’ que es divisible tanto por ‘p’ como por ‘q’, ‘n’ será divisible por px q. 
Por ejemplo, 48 es divisible por 3 y 8 y también por 3 x 8 = 24. 
Pero, si ‘p’ y ‘q’ NO son coprimos, entonces el hecho de que ‘n’ sería divisible por pxq dado que ‘n’ es divisible por ‘p’ y ‘q’ no es necesario. Por ejemplo, 144 es divisible por 8 y 12 (no coprimo), pero no es divisible por 8 x 12 = 96. 
TEOREMA DE LA DIVISIÓN 
 

• Dividendo = (Divisor x Cociente) + Resto
• (x ⁿ – a ⁿ ) es divisible por (x – a) para todos los valores de n. 
  Por ejemplo, para n = 2, x ² – a ² = (x – a) (x + a), que es divisible por (x – a). 
  De manera similar, para n = 3, x ³ – a ³ = (x – a) (x ² + a ² + xa), que es divisible por (x – a).
• (x ⁿ – a ⁿ ) es divisible por (x + a) para todos los valores pares de n. 
  Por ejemplo, para n = 2, x ² – a ² = (x – a) (x + a), que es divisible por (x+a). 
  De manera similar, para n = 3, x ³ – a ³ = (x – a) (x ² + a ² + xa), que no es divisible por (x + a).
• (x ⁿ + a ⁿ ) es divisible por (x + a) para todos los valores impares de n. 
  Por ejemplo, para n = 3, x ³ + a ³ = (x + a) (x ² + a ² – xa), que es divisible por (x + a).

  
 

Problemas de muestra

Pregunta 1: Cuando un número se divide sucesivamente por 2, 3, 7, obtenemos 1, 2, 3 como resto respectivamente. ¿Cuál es el menor de tales números? 
Solución: el número es de la forma 2a+1, 3b+2, 7c+3. Entonces, ponemos c=1 y procedemos de la siguiente manera: 
 

Básicamente, multiplicamos sucesivamente los divisores con el resultado de la etapa anterior y sumamos el resto correspondiente. 
7 x 1 + 3 = 10 
3 x 10 + 2 = 32 
2 x 32 + 1 = 65 
Por lo tanto, 65 es la respuesta requerida. 
NOTA: La respuesta diferiría si cambiamos el orden de los divisores. Para el número más pequeño, ordena los divisores en orden decreciente. 

Pregunta 2: Cuando un número se divide sucesivamente por 2, 4, 8, obtenemos 1, 1, 0 como resto respectivamente. ¿Cuál es el menor de tales números? 
Solución: Procediendo de manera similar a la pregunta anterior, 
8 x 1 + 0 = 8 
4 x 8 + 1 = 33 
2 x 33 + 1 = 67 
Por lo tanto, 67 es la respuesta requerida. 
 

Pregunta 3: ¿Cuál sería el valor máximo de ‘B’ en la siguiente ecuación: 
 

  1 2 B
+ B 4 C
+ C 6 7
--------
  1035
--------

Solución: solo la parte más a la izquierda del número puede tener dos o más dígitos. Entonces, dividimos la respuesta como: 
 

  1 2 B
+ B 4 C
+ C 6 7
--------
 10 3 5
--------

Ahora, de la columna 1, podemos inferir fácilmente que B + C = 8. 
Primero, consideremos B + C = 18. Este es el caso posible si y solo si B = C = 9. Entonces, la ecuación sería 129 + 949 + 967 = 2045, pero necesitamos 1035 como respuesta. Por lo tanto, este no es el caso requerido. 
Entonces, B + C = 8. Para el máximo ‘B’, ponemos C = 0. Por lo tanto, B = 8. 
Ahora, para verificar nuestra respuesta, ponemos B = 8 y C = 0 en la ecuación dada. 
 

  1 2 8
+ 8 4 0
+ 0 6 7
--------
 10 3 5
--------

Por lo tanto, nuestra respuesta B = 8 es correcta. 

Pregunta 4: ¿Cuáles de los siguientes son números primos? 
(i) 247 
(ii) 397 
(iii) 423 
Solución: 
(i) 16 ² = 256 > 247. Los números primos menores que 16 son 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 247 es divisible por 13. Por lo tanto, 247 no es un número primo. Es un número compuesto. 
(ii) 20 ² = 400 > 397. Los números primos menores que 20 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 pero 397 no es divisible por ninguno de estos. Por lo tanto, 397 es un número primo. 
(iii) 21 ² = 441 > 423. Los números primos menores que 21 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 423 es divisible por 3. Por lo tanto, 423 no es un número primo. Es un número compuesto. 

Pregunta 5 : Encuentra el dígito de la unidad en el producto (17) ¹⁵³ x (31) ⁶² . 
Solución: El dígito de la unidad de la ecuación dada sería el mismo que el dígito de la unidad de la ecuación 7 ¹⁵³ x 1 ⁶² . 
Ahora, necesitamos encontrar un patrón en el dígito de la unidad cuando aumentamos gradualmente las potencias de 7. 7 ¹ da 7, 7 ² da 9, 7 ³ da 3, 7 ⁴da 1. Entonces, en la cuarta potencia, obtenemos el dígito de la unidad como 1. Por lo tanto, para facilitar nuestro trabajo, necesitamos escribir la potencia original (153) en múltiplos de 4 lo más cerca posible. Multiplicamos esta potencia (4) por un número tal que nos acerquemos más a 153. Entonces, 4 x 38 = 152 y 7 ¹⁵² también tiene 1 en el lugar de la unidad. 
Ahora, (17) ¹⁵³ tiene 7 en el lugar de la unidad y (31) ⁶² tiene 1 en el lugar de la unidad. 
Por lo tanto, el problema simplemente se reduce a 7 x 1 = 7. 
Por lo tanto, el dígito de la unidad es 7. 

Pregunta 6: Encuentra el dígito de la unidad en (17) ¹⁵³ + (31) ⁶² . 
Solución: El dígito de la unidad de la ecuación dada sería el mismo que el dígito de la unidad de la ecuación 7 ¹⁵³ + 1 ⁶² . 
Ahora, necesitamos encontrar un patrón en el dígito de la unidad cuando aumentamos gradualmente las potencias de 7. 7 ¹ da 7, 7 ² da 9, 7 ³ da 3, 7 ⁴da 1. Entonces, en la cuarta potencia, obtenemos el dígito de la unidad como 1. Por lo tanto, para facilitar nuestro trabajo, necesitamos escribir la potencia original (153) en múltiplos de 4 lo más cerca posible. Multiplicamos esta potencia (4) por un número tal que nos acerquemos más a 153. Entonces, 4 x 38 = 152 y 7 ¹⁵² también tiene 1 en el lugar de la unidad. 
Ahora, (17) ¹⁵³ tiene 7 en el lugar de la unidad y (31) ⁶² tiene 1 en el lugar de la unidad. 
Por lo tanto, el problema simplemente se reduce a 7 + 1 = 8. 
Por lo tanto, el dígito de la unidad es 8. 

Pregunta 7: Encuentra el número total de factores primos en la expresión (14) ¹¹ x (7) ² x (11) ³ . 
Solución: (14) ¹¹ x (7) ² x (11) ³ = (2 x 7) ¹¹ x (7) ² x (11) ³ = (2) ¹¹ x (7) ¹¹ x (7) ² x ( 11) ³ = (2) ¹¹ x (7) ¹³ x (11) ³ 
Por lo tanto, número total de factores primos = 11 + 13 + 3 = 27 

Pregunta 8: ¿Qué dígitos deben ir en lugar de * y # de modo que el número 12386*# sea divisible por 8 y 5? 
Solución: dado que el número dado debe ser divisible por 5, 0 o 5 deben aparecer en lugar de #. Pero, un número que termina en 5 nunca es divisible por 8. Entonces, 0 reemplazará a #. 
Ahora, el número formado por los últimos tres dígitos es 6*0, que se vuelve divisible por 8, si * se reemplaza por 0 o 4 u 8. 
Por lo tanto, los dígitos en lugar de * y # son 0 o 4 o 8 y 0 respectivamente . 

Pregunta 9: ¿Cuál es el menor número que debe restarse de 9999 para que sea exactamente divisible por 19? 
Solución: Al dividir 9999 entre 19, nos queda 5 como resto. Por lo tanto, número a restar = 5. 

Pregunta 10: ¿Cuál es el menor número que debe sumarse a 9999 para que sea exactamente divisible por 19? 
Solución: Al dividir 9999 entre 19, nos queda 5 como resto. Por lo tanto, número a sumar = 19 – 5 = 14. 

Pregunta 11: Un número cuando se divide por 340 da un resto 47. ¿Cuál sería el resto cuando el mismo número se divide por 17? 
Solución: El número es de la forma 340a + 47 = 17 * (20a) + 17 * (2) + 13 = 17 * (20a + 2) + 13. 
Por lo tanto, al dividir este número por 17, obtendríamos 13 como el resto. 

Pregunta 12: Encuentra el resto cuando 3 ²¹ se divide por 5. 
Solución: 3 ⁴ = 81. Entonces, el dígito de la unidad de 3 ⁴ es 1. 
Por lo tanto, el dígito de la unidad de 3 ²⁰ = 1 y, por lo tanto, el dígito de la unidad de 3 ²¹ = 1*3 = 3. 
3 cuando se divide por 5 da 3 como resto. 
Entonces, el resto cuando 3 ²¹ se divide por 5 es 3. 

problema de números | Conjunto-2

Cuestionario sobre números

Este artículo ha sido aportado por Nishant Arora 

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