Péndulo simple: definición, fórmulas, derivación, ejemplos

Un dispositivo en el que generalmente una masa puntual se fija a una cuerda que es liviana e inextensible y está suspendida de un soporte constante se conoce como péndulo simple. La posición media en un péndulo simple suele ser el punto por donde pasa la línea vertical. La longitud del péndulo se denota por L y es la distancia vertical desde el punto de suspensión hasta el centro de masa del cuerpo suspendido siempre que esté en su posición media. Este tipo de péndulo tiende a tener una sola frecuencia de resonancia.  

Básicamente, un péndulo simple es un dispositivo mecánico que demuestra un movimiento periódico. Este tiene una pequeña lenteja circular suspendida por una cuerda delgada e inextensible desde cualquier extremo fijo y tiene una longitud L. Realiza un movimiento oscilatorio, que es impulsado por la atracción gravitatoria y ocurre en el plano vertical. Generalmente, la lenteja suspendida en el extremo de la cuerda no tiene masa. El período de tiempo del péndulo se puede aumentar aumentando la longitud de la cuerda. El período de tiempo del péndulo es independiente de la masa de la lenteja suspendida. El período de tiempo de un péndulo generalmente depende de la posición de la lenteja y de la aceleración de la gravedad, ya que no es uniforme en todos los lugares de la tierra.

Fórmulas de péndulo simples

Podemos ver que el péndulo se usa para varias cosas, como relojes o, si observa con atención, incluso un columpio en el jardín es como un péndulo. Miremos más en esto. fórmulas importantes,

Período de tiempo = 2π/ω ₀ = 2π × √(L/g)

Energía potencial = mgL(1-cosθ)

Energía cinética = (½)mv ²

Energía Total = Energía Cinética + Energía Potencial = (½)mv ² + mgL(1 – cosθ) = constante.

Algunos términos esenciales

• Movimiento oscilatorio : cualquier movimiento hacia adelante y hacia atrás realizado por el péndulo en un movimiento periódico y cuando el péndulo está en su posición central, la posición se denomina posición de equilibrio.
• Período de tiempo : generalmente es el tiempo total que tarda un péndulo en completar una oscilación completa, se denota por ‘T’.
• Amplitud : la distancia entre la posición de equilibrio y la posición extrema del péndulo.
• Longitud : la longitud de la cuerda es generalmente la distancia entre el extremo fijo de una cuerda y el centro de masa.

Derivación del período de tiempo de un péndulo simple

Condición proporcionada,

1. Es un entorno sin fricciones.
2. Los brazos del péndulo son rígidos y sin masa.
3. La aceleración debida a la gravedad es constante.
4. El movimiento del péndulo está en un plano exacto.

Podemos usar la ecuación de movimiento,

T – mg cosθ = mv ² L

Aquí, el torque lleva la masa a la posición de equilibrio,

Τ = mgL × sinθ = mgsinθ × L = I × α

Sin θ ≈ θ, para pequeños ángulos de oscilación.

Entonces, Iα = -mgLθ

Α = -(mgLθ)/I

-ω ₀ ² θ = -(mgLθ)/I

ω ₀ ² θ = (mgL)/I

ω ₀ = √(mgL/l)

Usando, I = ML ²

Aquí, I = momento de inercia de la lenteja

ω0 = √ ₍ g/L)

Por lo tanto, el período de tiempo del péndulo simple está dado por,

T = 2π/ω ₀ = 2π × √(L/g)

Derivación de la energía potencial del péndulo simple

Como sabemos, la ecuación básica de la energía potencial es,

Energía potencial = mgh

Aquí, m = masa del objeto, g = aceleración de la gravedad y h = altura del objeto.

En el movimiento del péndulo simple, el péndulo está restringido por la cuerda. La altura aquí se escribe en términos del ángulo y la longitud de la cuerda.

Por lo tanto, altura = L(1 – cosθ)

Si θ = 90°, entonces se considera que el péndulo está en su punto más alto.

Cos90° = 0, y h = L, entonces energía potencial = mgL

Si θ = 0°, se considera que el péndulo está en su punto más bajo.

Cos0° = 1, y h = L(1 – 1) = 0, entonces energía potencial = 0

Por lo tanto, la energía potencial en todos los puntos se da como,

Energía potencial = mgL(1-cosθ)

Derivación para la Energía Total

Como sabemos, la ecuación básica de la energía cinética es,

Energía cinética = (½)mv ²

Aquí, m es la masa del péndulo y v es la velocidad del péndulo.

Energía cinética = 0, en desplazamiento máximo, y es máxima en desplazamientos cero. Aunque la energía total es una constante siendo una función del tiempo.

La energía mecánica del péndulo.

En un péndulo simple, queda por conservar la energía mecánica de un péndulo simple.

Energía Total = Energía Cinética + Energía Potencial = (½)mv ² + mgL(1-cosθ) = constante.

Puntos para recordar

• El cambio de temperatura del sistema puede afectar el período de tiempo del péndulo ya que el período de tiempo depende de la longitud del péndulo.
• Un péndulo simple tiende a colocarse en un marco de referencia no inercial.
• Si la posición media del péndulo cambia, el valor de ‘g’ sería reemplazado por ‘g _efectivo ‘, para determinar el período de tiempo.

Ejemplo: un ascensor que se mueve con aceleración ‘a’ hacia arriba, entonces T = 2π × √(L/g _eff ) = 2π √[L/(g + a)]

Ejemplos de preguntas  

Pregunta 1: ¿Qué es un péndulo simple?

Responder:

Un cuerpo idealizado que consta de una lenteja o partícula suspendida en un extremo de la cuerda y el otro extremo fijado a un soporte rígido. El péndulo, cuando se tira de un lado, tiende a moverse de un lado a otro con un movimiento periódico y oscila en un plano vertical debido a la atracción gravitatoria. Este movimiento es oscilatorio y periódico y se denomina movimiento armónico simple.

Pregunta 2: En un péndulo simple, ¿cuál es la longitud efectiva?

Responder:

La longitud efectiva en un péndulo simple es la longitud de la cuerda desde el soporte rígido hasta el centro de masa del péndulo. El centro de masa del péndulo es generalmente el punto central de la lenteja. Simplemente, la longitud efectiva es la distancia entre el punto de suspensión y el centro de la lenteja del péndulo.

Pregunta 3: El período de tiempo de un péndulo simple es de 2,4 segundos. ¿Cuál es la longitud del péndulo? (g=10 m/s ² ).

Solución:

Dado,

T = 2,4 segundos

Encontrar,

Longitud del péndulo =?

Fórmula para el período de tiempo,

T = 2π/ω ₀ = 2π × √(L/g)  

2,4 = 2π × √(L/10)

(2.4) ² = (2π) ² (L/10)

largo = 1,46 m.

Pregunta 4: El período de tiempo de un péndulo simple es de 1,2 segundos. ¿Cuál es la longitud del péndulo? (g = 10 m/s ² ).

Solución:  

Dado,

T = 1,2 segundos

Encontrar,

Longitud del péndulo = ?

Fórmula para el período de tiempo,

T = 2π/ω ₀ = 2π × √(L/g)  

1.2 = 2π × √(L/10)

(1.2) ² = (2π) ² (L/10)

L = 0,36 m.

Pregunta 5: Encuentra la longitud de un péndulo que tiene un período de 3.6 segundos y luego encuentra su frecuencia.

Solución:  

Dado,

T = 3,6 segundos

Encontrar,

Longitud del péndulo =?

Frecuencia =?

Fórmula para el período de tiempo,

T = 2π/ω ₀ = 2π × √(L/g)  

3.6 = 2π × √(L/10)

(3.6) ² = (2π) ² (L/10)

largo = 3,2 m.

Frecuencia = 1/T = 1/(3,6) = 0,27

Pregunta 6: La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la luna es de 1,8 m/s ² . ¿Cuál es el período de tiempo de un péndulo simple en la Luna si su período de tiempo en la Tierra es de 3,6 s?

Solución:

Dado,

T = 3,6 segundos

g = 1,8 m/s ²

Encontrar,

Longitud del péndulo = ?

Fórmula para el período de tiempo,

En la tierra,

T = 2π/ω ₀ = 2π × √(3,6/10)  

3.6 = 2π × √(L/10)

(3.6) ² = (2π) ² (L/10)

largo = 3,2 m

En la Luna,

T = 2π/ω ₀ = 2π × √(3,2/1,8)  

T = 2π × √(3,2/1,8)

T = 2π × 1,3

T = 8,164 segundos.

Por lo tanto, el período de tiempo del péndulo en la luna es de 8,164 segundos.

Pregunta 7: La longitud del péndulo es de 2 m, ¿cuál es el período de tiempo? (g = 10 m/s ² ).

Solución:

Dado,

largo = 2m

g=10m/ ^s2

Encontrar,

Período de tiempo = ?

Fórmula para el período de tiempo,

T = 2π/ω ₀ = 2π × √(L/g)

T = 2π × √(2/10)

T = 2,80 segundos.