Permutaciones pares e impares y sus teoremas

Permutaciones pares:

Una permutación se llama incluso si se puede expresar como un producto de un número par de transposiciones.

Ejemplo 1:
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 2 & 3\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 1 & 2\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 1 & 2\\ \end{pmatrix}$

Aquí podemos ver que la permutación ( 1 2 3 ) se ha expresado como producto de transposiciones de tres maneras y en cada una de ellas el número de transposiciones es par, por lo que es una permutación par.

Ejemplo-2:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&4\\ 2 & 4 & 3&1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&4\\ 2 & 4 & 3&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 3\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 1&4\\ \end{pmatrix}$

La permutación dada es el producto de dos transposiciones, por lo que es una permutación uniforme.

Permutaciones impares:

Una permutación se llama impar si se puede expresar como un producto de un número impar de transposiciones.

Ejemplo 1:

$\begin{pmatrix} 3 & 4& 5&6\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 3 & 4& 5&6\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 3 & 5\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 3 & 6\\ \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 4 & 5\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5 & 6\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 6 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 3 & 5\\ \end{pmatrix}$

Aquí podemos ver que la permutación ( 3 4 5 6 ) se ha expresado como producto de transposiciones de dos formas y en cada una de ellas el número de transposiciones es impar, por lo que es una permutación impar.

Ejemplo-2:

$\begin{pmatrix} 1&2\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5&4&3\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 6&7&8\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1&2\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5&4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5&3\\ \end{pmatrix} o\begin{pmatrix} 6&7\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 6&8\\ \end{pmatrix}$

La permutación dada es el producto de cinco transpuestas, por lo que es una permutación impar.

Teoremas sobre permutaciones pares e impares:

Teorema-1:

Si P1 y P2 son permutaciones, entonces

(a) P1 P2 es par siempre que P1 y P2 sean pares o impares.
(b) P1 P2 es impar siempre que uno de P1 y P2 sea impar y el otro par.

Prueba: (a)

Caso I. Si P1, P2 ambos son pares.

Sean P1 y P2 el producto de las transposiciones 2n y 2m respectivamente, donde n y m son números enteros positivos.

Entonces, cada uno de P1 P2 y P2 P1 es producto de transposiciones de 2n + 2m, donde 2n + 2m es evidentemente un número entero par.

Por lo tanto, P1 P2 y P2 P1 son permutaciones pares.

Caso II . Si P1, P2, ambos son impares. Sea P1 P2 el producto de las transposiciones (2n + 1) y (2m + 1) respectivamente, donde n y m son números enteros positivos.

Entonces cada uno de P1 P2 y P2 P1 es el producto (2n + 1) + (2m + 1) es decir, 2 (n + m + 1) transposiciones, donde 2(n + m + 1) es evidentemente un número entero par.

Por lo tanto, P1 P2 y P2 P1 son permutaciones pares.

Prueba: (b)

Sea P1 una permutación impar y P2 una permutación par. También sean P1 y P2 el producto de las transposiciones (2n + 1) y 2m respectivamente, donde n y m son números enteros positivos.

Entonces, cada uno de P1 P2 y P2 P1 es el producto de (2n + 1) + 2m, es decir, [2 (n+ m)+1] transposiciones, donde 2(n+ m) + 1 es evidentemente un número entero impar.

Por lo tanto, P1 P2 y P2 P1 son permutaciones impares.

Teorema-2:
La permutación de Identidad es una permutación par.

Prueba-: La permutación de identidad l siempre se puede expresar como el producto de dos transposiciones (es decir, pares).

Por ejemplo

Por lo tanto, I es una permutación par. (Ver definición)

Teorema-3:
El inverso de una permutación par es una permutación par.

Prueba-: Si P es una permutación par y P ^-1 es su inversa, entonces PP ^-1 = I, la permutación identidad.

Pero P e I son pares (Ver Teorema 2 arriba),

entonces P ^-1 también es par (Ver Teorema 1 (a) arriba)

Teorema 4:
El inverso de una permutación impar es una permutación impar.

Prueba-: Si P es una permutación impar y P ^-1 es su inversa, entonces PP ^-1 = I, la permutación identidad.

Pero P es impar y I es par. (Véase el Teorema 2 anterior),

entonces P ^-1 también es impar. (Véase el Teorema 1 (b) anterior)

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Teoremas sobre permutaciones pares e impares:

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