Principio de superposición y distribución de carga continua

La carga eléctrica es una característica fundamental de la materia que regula cómo las partículas elementales son impactadas por un campo eléctrico o magnético. La carga eléctrica positiva y negativa existe en unidades naturales discretas y no se puede fabricar ni destruir. Hay dos tipos de cargas eléctricas: positivas y negativas. Cuando dos elementos con una sobreabundancia de un tipo de carga están relativamente cerca uno del otro, se repelen. Cuando dos cosas con cargas opuestas en exceso, una con carga positiva y la otra con carga negativa, están cerca, se atraen.

La carga eléctrica es una propiedad compartida por muchas partículas fundamentales o subatómicas de materia. Los electrones, por ejemplo, tienen carga negativa mientras que los protones tienen carga positiva. Los neutrones, por otro lado, no tienen carga. Los experimentos han descubierto que la carga negativa de cada electrón tiene la misma magnitud que la carga positiva de cada protón. Una carga se mide en unidades naturales, que son equivalentes a la carga de un electrón o protón, que es una constante física fundamental.

Principio de superposición

El principio de superposición nos permite determinar la fuerza total ejercida sobre una carga dada por cualquier número de cargas puntuales. Cada partícula cargada en el universo produce un campo eléctrico en el espacio circundante. El campo eléctrico producido por una carga no se ve afectado por la presencia o ausencia de cargas adicionales. La ley de Coulomb se puede utilizar para calcular el campo eléctrico creado. El principio de superposición permite combinar dos o más campos eléctricos.

De acuerdo con el concepto de superposición, cada carga en el espacio forma un campo eléctrico en un lugar independientemente de la presencia de otras cargas en ese medio. El campo eléctrico resultante es una suma vectorial de los campos eléctricos de las cargas constituyentes.

El flujo neto, el campo neto y la energía potencial neta del sistema se calculan utilizando el concepto de superposición.

Principio de superposición en electrostática utilizado para calcular la fuerza entre cargas múltiples

Considere un sistema en el vacío con n inmóviles, es decir, cargas estacionarias q ₁ , q ₂ y q ₃ . Se ha demostrado experimentalmente que la suma vectorial de todas las fuerzas sobre una carga debidas a otras cargas, tomadas una a la vez, es la suma vectorial de todas las fuerzas sobre esa carga debidas a las otras cargas. Debido a la presencia de otras cargas, las fuerzas separadas no se ven afectadas. Esto se conoce como el principio de superposición.

Un sistema de tres cargas.

La fuerza sobre una carga, digamos q ₁ , debida a otras dos cargas, q ₂ y q ₃ , puede determinarse realizando una suma vectorial de las fuerzas debidas a cada una de estas cargas. Como resultado, si F12 denota la fuerza ejercida sobre q ₁ como resultado de q ₂ ,

$\overrightarrow{F_{12}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2_{12}}\hat{r}_{12}$

De manera similar, F ₁₃ denota la fuerza ejercida sobre q ₁ como resultado de q ₃ , que nuevamente es la fuerza de Coulomb sobre q ₁ debida a q ₃ aunque esté presente otra carga q _{2 .}

$\overrightarrow{F_{13}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_3}{r^2_{13}}\hat{r}_{13}$

Por lo tanto, la fuerza total F1 sobre q1 debido a las dos cargas q2 y q3 se puede expresar como,

$\overrightarrow{F_{1}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2_{12}}\hat{r}_{12}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_3}{r^2_{13}}\hat{r}_{13}\\ \overrightarrow{F_{1}}=\frac{q_1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{q_2}{r^2_{12}}\hat{r}_{12}+\frac{q_3}{r^2_{13}}\hat{r}_{13}\right]$

dónde

$\hat{r_{12}}$ y $\hat{r_{13}}$ son los vectores unitarios a lo largo de la dirección de q ₁ y q ₂ .

∈ _o es la constante de permitividad del medio en el que se encuentran las cargas.

r ₁₂ y r ₁₃ son las distancias entre las cargas.

Distribución de carga continua

Tratar con combinaciones de carga discreta implica q1, q2,…, qn. El tratamiento matemático es más sencillo y no requiere cálculo, razón por la cual nos limitamos a cargas discretas. Sin embargo, trabajar con cargas discretas es impracticable por muchas razones y, en su lugar, debemos trabajar con distribuciones de cargas continuas. Todas las cargas están estrechamente unidas entre sí con muy poco espacio entre ellas en una distribución de carga continua.

Los cargos se pueden distribuir de tres maneras, que incluyen:

Distribución de carga lineal
Distribución de carga superficial
Distribución de carga por volumen

Densidad de carga lineal

Cuando las cargas se dispersan por igual a lo largo de una longitud, como alrededor de la circunferencia de un círculo o a lo largo de un cable recto, esto se conoce como distribución de carga lineal. La distribución de carga lineal está simbolizada por el símbolo λ. La densidad de carga lineal λ de un cable se define por

$\lambda=\frac{\Delta{Q}}{\Delta{l}}$

donde, ∆l está en la escala macroscópica, un pequeño elemento lineal de alambre, pero contiene un número significativo de elementos microscópicos cargados y ∆Q es la carga contenida en ese elemento lineal. Las unidades de λ son C/m.

Densidad de carga superficial

No es práctico caracterizar la distribución de carga en la superficie de un conductor cargado en términos de las posiciones de los diminutos elementos cargados. Es más práctico considerar un elemento de área S en la superficie del conductor (que es pequeño en una escala macroscópica pero lo suficientemente grande como para contener numerosos electrones) y especificar la carga Q en ese elemento. Una densidad de carga superficial σ en el elemento de área por

$\sigma=\frac{\Delta{Q}}{\Delta{S}}$

La densidad de carga superficial σ es una función continua. La densidad de carga superficial como se indica pasa por alto la cuantificación de carga y las discontinuidades de distribución de carga a nivel microscópico. , que es un promedio suavizado de la densidad de carga microscópica en un elemento de área ∆S, que es enorme microscópicamente pero pequeño macroscópicamente, refleja la densidad de carga superficial macroscópica. La unidad de densidad de carga superficial σ es C/m ² .

Densidad de carga de volumen

De manera similar, cuando una carga se distribuye uniformemente en un volumen, se denomina distribución de carga de volumen ρ, como dentro de una esfera o un cilindro. Se define la densidad de carga volumétrica ρ (también conocida como densidad de carga).

$\rho=\frac{\Delta{Q}}{\Delta{V}}$

donde ∆Q denota la carga en el elemento de volumen macroscópicamente pequeño ∆V, que contiene una gran cantidad de constituyentes microscópicos cargados. La unidad de densidad de carga volumétrica ρ es C/m ³ .

Ley de Coulomb

La ley de Coulomb es una fórmula matemática que describe la fuerza entre dos cargas puntuales. Cuando el tamaño de los cuerpos cargados es sustancialmente más pequeño que la separación entre ellos, entonces el tamaño no se considera o puede ignorarse. Los cuerpos cargados pueden considerarse como cargas puntuales.

Según la ley de Coulomb, la fuerza de atracción o repulsión entre dos cosas cargadas es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Actúa a lo largo de la línea que conecta las dos cargas que se consideran cargas puntuales.

Coulomb estudió la fuerza entre dos cargas puntuales y encontró que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, directamente proporcional al producto de sus magnitudes y actuando en una línea que las conecta.

La cantidad de la fuerza (F) entre dos cargas puntuales q1 y q2 separadas por una distancia r en el vacío está dada por,

F ∝ q ₁ q ₂ y
F ∝ 1/r ²

Por lo tanto,

F ∝ q ₁ q ₂ / r ²

F = kq ₁ q ₂ / r ²

donde k es la constante de proporcionalidad y es igual a 1/4πε ₀ .

El símbolo ε ₀ se llama épsilon not y significa la permitividad del vacío.

El valor de k es 9 × 10 ⁹ Nm ² /C ² . El valor de la unidad SI de ε ₀ es 8.854 × 10 ^-12 C ² N ^-1 m ^-2 .

Ejemplos de preguntas

Problema 1: un anillo circular de radio interior r y radio exterior R tiene una densidad de carga uniforme a. ¿Cuál será la carga total en el espacio anular?

Solución:

El área superficial total del anillo es π×(R ² -r ² )

Tiene un radio exterior R y un radio interior r.

La densidad de carga superficial es la cantidad de carga almacenada en la unidad de superficie.

La densidad de carga superficial es a.

Por lo tanto, la carga total en el anillo es π×a×(R ² – r ² ) .

Problema 2: ¿Cuál es la dimensión de la densidad de carga lineal?

Solución:

La expresión para la densidad de carga lineal λ=(Cantidad de carga / Longitud total).

La dimensión de la carga eléctrica es [IT] y la dimensión de la longitud es [L].

Por lo tanto, la dimensión de la densidad de carga lineal = [ITL ^-1 ].

Problema 3: Una carga se distribuye a lo largo de una línea curva infinita en el espacio con distribución de carga lineal λ. ¿Cuál será la cantidad de fuerza sobre una carga puntual q se mantiene a cierta distancia de la línea?

Solución:

Sea la carga puntual situada a una distancia r de una pequeña parte dl de la línea.

La carga almacenada en la pequeña parte estadística es λ.dl.

La fuerza debida a esa pequeña parte estará dirigida hacia el vector unitario $\hat{r}$ .

Por lo tanto, la fuerza sobre esa carga debido a la distribución de carga lineal completa se puede escribir como:

$F=q\int\lambda{r^2}\hat{r}dl$

Problema 4: Una esfera sólida no conductora de 1 m de radio lleva una carga total de 10 C que se distribuye uniformemente por toda la esfera. Determine la densidad de carga de la esfera.

Solución:

El volumen de la esfera = (4/3)πr ³ .

donde r es el radio de la esfera.

Por lo tanto, la densidad de carga, ρ= carga total/[(4/3)πr ³ ].

Ahora sustituyendo los valores,

ρ = 10/[(4/3)πr ³ ]

= 2,38 C/m3.

Pero si la esfera es conductora, debemos considerar la densidad de carga superficial.

Problema 5: ¿Qué es la distribución de carga lineal?

Solución:

Cuando las cargas se dispersan por igual a lo largo de una longitud, como alrededor de la circunferencia de un círculo o a lo largo de un cable recto, esto se conoce como distribución de carga lineal. La distribución de carga lineal está simbolizada por el símbolo λ. La densidad de carga lineal λ de un cable se define por

$\lambda=\frac{\Delta{Q}}{\Delta{l}}$

donde, ∆l está en la escala macroscópica, un pequeño elemento lineal de alambre, pero contiene un número significativo de elementos microscópicos cargados y ∆Q es la carga contenida en ese elemento lineal.

Las unidades de λ son C/m.

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Artículo escrito por anoopraj758 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA