Procesos de Poisson no homogéneos

El modelo de proceso de Poisson no homogéneo ( NHPP ) representa el número de fallas experimentadas hasta el momento t es un proceso de Poisson no homogéneo {N(t), t ≥ 0}.

El problema principal en el modelo NHPP es determinar una función de valor medio adecuada para denotar el número esperado de fallas experimentadas hasta un momento determinado.
Con diferentes suposiciones, el modelo terminará con diferentes formas funcionales de la función de valor medio. Tenga en cuenta que en un proceso de renovación, la suposición exponencial para el tiempo entre llegadas entre fallas se relaja, y en el NHPP, la suposición estacionaria se relaja.

El modelo de proceso de Poisson no homogéneo se basa en los siguientes supuestos:

–> El proceso de falla tiene un incremento independiente, es decir, el número de fallas durante el intervalo de tiempo (t, t + s) depende del tiempo actual t y la duración del intervalo de tiempo s, y no depende de la historia pasada del proceso.

–> La tasa de falla del proceso viene dada por P{exactamente una falla en (t, t + ∆t)} = P{N(t, t + ∆t) – N(t)=1} = (t $\lambda$ ) ∆t + o(∆t) donde $\lambda$ (t) es la función de intensidad.

–> Durante un pequeño intervalo ∆t, la probabilidad de más de una falla es despreciable, es decir, P{dos o más fallas en (t, t+∆t)} = o(∆t)

–> La condición inicial es N(0) = 0.

Sobre la base de estas suposiciones, la probabilidad de que ocurran exactamente n fallas durante el intervalo de tiempo (0, t) para el NHPP está dada por
$Pr\begin{Bmatrix}N(t)=n\end{Bmatrix} = \frac{[m(t)]^{n}}{n!}e^{-m(t)}$

donde $m(t)=E[N(t)]=\int_{0}^{t}\lambda \left ( s\right )ds$ y $\lambda (t)$ es la función de intensidad. Se puede demostrar fácilmente que la función de valor medio m(t) no es decreciente.

Función de Confiabilidad:
La confiabilidad R(t), definida como la probabilidad de que no haya fallas en el intervalo de tiempo (0, t), viene dada por
$R(t) = P\left \{ N(t)=0 \right \} = e^{-m(t)}$