El término ‘ producto ‘ significa matemáticamente el resultado obtenido cuando se multiplican dos o más valores. Por ejemplo, 45 es el producto de 9 y 5. Uno debe estar familiarizado con las operaciones básicas en conjuntos como Unión e Intersección, que se realizan en 2 o más conjuntos. El producto cartesiano también es una de esas operaciones que se realiza en dos conjuntos, que devuelve un conjunto de pares ordenados .
¿Qué es un par ordenado?
Un par ordenado es un par de objetos en los que un elemento se asigna primero y el otro elemento se asigna en segundo lugar, indicado por (a,b). Aquí ‘a’ se llama el primer componente y ‘b’ se llama el segundo componente del conjunto ordenado.
Ejemplo: (5, 7) es un par ordenado de enteros.
Nota: (5, 7) ≠ (7, 5), un par ordenado (a, b) es igual a (x, y) solo si a = x y b = y.
Producto cartesiano de conjuntos
Un producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados posibles donde la primera componente del par es de A y la segunda componente del par es de B. El conjunto de pares ordenados así obtenido es denotada por A × B .
A × B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}
Ejemplo:
Sean A = {1, 2} y B = {4, 5, 6}
A × B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}
Aquí, el primer componente de cada par ordenado es del conjunto A, el segundo componente es del conjunto B.
El producto cartesiano de dos conjuntos se puede representar fácilmente en forma de array donde ambos conjuntos están en cualquier eje, como se muestra en la imagen a continuación. Producto cartesiano de A = {1, 2} y B = {x, y, z}
Propiedades del producto cartesiano
1. El producto cartesiano no es conmutativo: A × B ≠ B × A
Ejemplo:
A = {1, 2} , B = {a, b}
UN × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
B × A = {(a, 1), (b, 1), (b, 1), (b, 2)}
Por tanto como A ≠ B tenemos A × B ≠ B × A
2. A × B = B × A, solo si A = B
Prueba:
Sea A × B = B × A entonces tenemos
A ⊆ B y B ⊆ A, se sigue que A = B
3. La cardinalidad del Producto Cartesiano se define como el número de elementos en A × B y es igual al producto de cardinalidad de ambos conjuntos: |A × B| = |A| * |B|
Prueba:
Sea a ∈ A entonces el número de pares ordenados (a, b) tales que b ∈ B es |B|.
Por lo tanto tenemos |B| elecciones para b para cada a donde a ∈ A por lo tanto el número de elementos en A×B es |A| * |B|.
4. A × B = {∅}, si A = {∅} o B = {∅}
Prueba:
Sabemos |{∅}| = 0.
Ahora tenemos |A × B| = |{∅}| = 0
Como |A × B| = |A| * |B| , obtenemos |A| * |B| = 0
Así al menos uno de |A| o |B| debe ser igual a 0
Por lo tanto, A = {∅} o B = {∅}
Ejemplos de problemas sobre pares ordenados y producto cartesiano de conjuntos
Problema 1: ¿Encuentra el valor de x e y dado (2x – y, 25) = (15, 2x + y)?
Solución:
Como sabemos por la propiedad de los pares ordenados, 2x – y = 15 y 25 = 2x + y.
Resolviendo las ecuaciones lineales tenemos x = 10 y y = 5.
Problema 2. Dados A = {2, 3, 4 , 5} y B = {4 , 16 , 23}, a ∈ A, b ∈ B, encuentra el conjunto de pares ordenados tal que a 2 < b ?
Solución:
Como 2 2 < 16 y 23, 3 2 < 16 y 23, 4 2 < 23
Tenemos el conjunto de pares ordenados tal que a 2 < b es {(2, 16), (2, 23), (3, 16), (2, 23), (4, 23)}
Problema 3. Si A = {9, 10} y B = {3, 4, 6}, encuentre A × B y |A × B|?
Solución :
A × B = {(9, 3), (9, 4), (9, 6), (10, 3), (10, 4), (10, 6)}
|A × B| = |A| * |B| = 2 * 3 = 6
Problema 4. Si A × B = {(a, x), (a, y ), (b, x ), (b, y)}, ¿encontrar A y B?
Solución:
Sabemos que A es el conjunto de todas las primeras componentes en pares ordenados de A × B y
B es el conjunto de la segunda componente en el par ordenado de A × B.
Por lo tanto A = {a, b} y B = {x, y}
Problema 5. Dado que A × B tiene 15 pares ordenados y A tiene 5 elementos, encuentra el número de elementos en B?
Solución:
Sabemos |A × B| = |A| * |B|, 15 = 5 * |B|
Por lo tanto B tiene 15/5 = 3 elementos.