Una cantidad que se caracteriza no solo por su magnitud sino también por su dirección, se llama vector. La velocidad, la fuerza, la aceleración, el impulso, etc. son vectores.
Los vectores se pueden multiplicar de dos maneras:
- Producto escalar o producto punto
- Producto vectorial o producto cruzado
Producto escalar/producto escalar de vectores
La resultante del producto escalar/producto escalar de dos vectores es siempre una cantidad escalar. Considere dos vectores a y b . El producto escalar se calcula como el producto de las magnitudes de a, b y el coseno del ángulo entre estos vectores.
Producto escalar = |a||b| porque α
Aquí, |un| = magnitud del vector a
|b| = magnitud del vector b
α = ángulo entre los vectores
Vectores a y b con ángulo α entre ellos
Proyección de un vector sobre otro vector
El vector a se puede proyectar en la línea l como se muestra a continuación:
CD = proyección del vector a sobre el vector b
Está claro a partir de la figura anterior que podemos proyectar un vector sobre otro vector. AC es la magnitud del vector A. En la figura anterior, AD se dibuja perpendicular a la línea l. CD representa la proyección del vector a sobre el vector b .
El triángulo ACD es, por lo tanto, un triángulo rectángulo y podemos aplicar fórmulas trigonométricas.
Si α es la medida del ángulo ACD, entonces
cos α = CD/AC
O, CD = AC cos α
De la figura, es claro que CD es la proyección del vector a sobre el vector b
Entonces, podemos concluir que un vector se puede proyectar sobre el otro vector por el coseno del ángulo entre ellos.
Propiedades del producto escalar:
- El producto escalar de dos vectores siempre es un número real (escalar).
- El producto escalar es conmutativo ieab =ba= |a||b| porque α
- Si α es 90°, entonces el producto escalar es cero ya que cos(90) = 0. Entonces, el producto escalar de los vectores unitarios en las direcciones x, y es 0.
- Si α es 0°, entonces el producto escalar es el producto de las magnitudes de a y b |a||b|.
- El producto escalar de un vector unitario consigo mismo es 1.
- El producto escalar de un vector a consigo mismo es |a| 2
- Si α es 180 0 , el producto escalar de los vectores ayb es -|a||b|
- El producto escalar es distributivo sobre la suma.
una. ( segundo + c ) = ab + ac
- Para cualquier escalar k y m entonces,
la . (m b ) = km ab
- Si la forma componente de los vectores se da como:
a = a1x + a2y + a3z
b = b1x + b2y + b3z
entonces el producto escalar se da como
ab = a1b1 + a2b2 + a3b3
- El producto escalar es cero en los siguientes casos:
- La magnitud del vector a es cero.
- La magnitud del vector b es cero
- Los vectores a y b son perpendiculares entre sí
Desigualdades basadas en el producto escalar
Desigualdad de Cauchy-Schwartz
De acuerdo con este principio, para dos vectores cualesquiera a y b , la magnitud del producto escalar siempre es menor o igual que el producto de las magnitudes del vector a y el vector b.
|ab| ≤ |un| |b|
Prueba:
Ya que, ab = |a| |b| porque α
Sabemos que 0 < cos α < 1
Entonces, concluimos que |ab| ≤ |un| |b|
Desigualdad triangular
Para cualesquiera dos vectores a y b , siempre tenemos
| un + segundo | ≤ | un | + | segundo |
Desigualdad triangular
Prueba:
| un + segundo | 2 =| un + segundo || un + segundo |
= aa + ab + ba + bb
= | un | 2 + 2 ab +| segundo | 2 (el producto escalar es conmutativo)
≤ | un | 2 + 2| a||b | + | segundo | 2
≤ ( |un | + | segundo | ) 2
Esto prueba que | un + segundo | ≤ | un | + | b|
Ejemplos de Producto Punto de Vectores
Pregunta 1. Considere dos vectores tales que |a|=6 y |b|=3 y α = 60°. Encuentra su producto escalar.
Solución:
ab = |a| |b| porque α
Entonces, ab = 6.3.cos(60°)
=18(1/2)
ab = 9
Pregunta 2. Demuestra que los vectores a = 3i+j-4k y el vector b = 8i-8j+4k son perpendiculares.
Solución :
Sabemos que los vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero
ab = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)
= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)
=24-8+16 =0
Como el producto escalar es cero, podemos concluir que los vectores son perpendiculares entre sí.
Producto cruzado/Producto vectorial de vectores
Los lectores ya están familiarizados con un sistema tridimensional de coordenadas rectangulares a la derecha. En este sistema, una rotación en sentido antihorario del eje x hacia el eje y positivo indica que un tornillo de mano derecha (estándar) avanzaría en la dirección del eje z positivo como se muestra en la figura.
Sistema de coordenadas rectangulares 3D
El producto vectorial de dos vectores a y b con un ángulo α entre ellos se calcula matemáticamente como
a × b = |a| |b| pecado
Cabe señalar que el producto vectorial es un vector con una dirección específica. La resultante siempre es perpendicular tanto a a como a b.
En caso de que a y b sean vectores paralelos, la resultante será cero ya que sin(0) = 0
Propiedades del producto cruzado:
- El producto cruzado genera una cantidad vectorial. La resultante siempre es perpendicular tanto a a como a b.
- El producto cruzado de vectores paralelos/colineales es cero ya que sin(0) = 0.
yo × yo = j × j = k × k = 0
- Producto cruzado de dos vectores mutuamente perpendiculares con magnitud unitaria cada uno es la unidad. (Puesto que sen(0)=1)
- El producto cruz no es conmutativo.
a × b no es igual a b × a
- El producto cruz es distributivo sobre la suma.
un × ( segundo + c ) = un × segundo + un × c
- Si k es un escalar entonces,
k(a × segundo) = k(a) × segundo = un × k(segundo)
- Al movernos en el sentido de las agujas del reloj y tomando el producto vectorial de dos pares cualquiera de los vectores unitarios, obtenemos el tercero y en el sentido contrario a las agujas del reloj, obtenemos la resultante negativa.
Producto cruzado en sentido horario y antihorario
Se pueden establecer los siguientes resultados:
yo × j = k j × k = yo k × yo = j
j × yo = -k yo × k= -j k × j = -i
Producto cruzado en forma de determinante
Si el vector a se representa como a = a1x + a2y + a3z y el vector b se representa como b = b1x + b2y + b3z
Entonces el producto cruzado a × b se puede calcular usando la forma determinante
a × b = x(a2b3 – b2a3) + y(a3b1 – a1b3) + z(a1b2 – a2b1)
Si a y b son los lados adyacentes del paralelogramo OXYZ y α es el ángulo entre los vectores a y b.
Entonces el área del paralelogramo está dada por | un × segundo | = |un| |b|pecado.α
Vectores a y b como lados adyacentes de un paralelogramo
Ejemplos de producto cruzado de vectores
Pregunta 1. Encuentra el producto cruz de dos vectores a y b si sus magnitudes son 5 y 10 respectivamente. Dado que el ángulo entre entonces es de 30°.
Solución:
a × b = absina (30) = (5) (10) (1/2)
= 25 perpendicular a a y b
Pregunta 2. Encuentra el área de un paralelogramo cuyos lados adyacentes son
a = 4i+2j -3k
b= 2i +j-4k
Solución :
El área se calcula encontrando el producto cruz de los lados adyacentes
a × b = x(a2b3 – b2a3) + y(a3b1 – a1b3) + z(a1b2 – a2b1)
= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-2)
= -5i +10j + 2k
Por lo tanto, la magnitud del área es
=
=
Aplicación: Los productos de puntos y los productos cruzados son muy útiles para aplicaciones de ingeniería.