Programa Python Para Encontrar Inserciones Mínimas Para Formar Un Palíndromo | DP-28

Dada la string str , la tarea es encontrar la cantidad mínima de caracteres que se insertarán para convertirla en un palíndromo.

Antes de continuar, entendamos con algunos ejemplos: 

• ab: el número de inserciones necesarias es 1, es decir, b ab
• aa: el número de inserciones requeridas es 0, es decir, aa
• abcd: el número de inserciones necesarias es 3, es decir , dcb abcd
• abcda: El número de inserciones requeridas es 2, es decir, un dc bcda que es el mismo que el número de inserciones en la substring bcd (¿Por qué?).
• abcde: el número de inserciones necesarias es 4, es decir , edcb abcde

Deje que la string de entrada sea str[l……h] . El problema se puede dividir en tres partes:  

1. Encuentre el número mínimo de inserciones en la substring str[l+1,…….h].
2. Encuentre el número mínimo de inserciones en la substring str[l…….h-1].
3. Encuentre el número mínimo de inserciones en la substring str[l+1……h-1].

Enfoque recursivo : el número mínimo de inserciones en la string str[l…..h] se puede dar como:  

• minInsertions(str[l+1…..h-1]) si str[l] es igual a str[h]
• min(minInsertions(str[l…..h-1]), minInsertions(str[l+1…..h])) + 1 en caso contrario

A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:  

# A Naive recursive program to find
# minimum number insertions needed
# to make a string palindrome
import sys
 
# Recursive function to find
# minimum number of insertions
def findMinInsertions(str, l, h):
 
    # Base Cases
    if (l > h):
        return sys.maxsize
    if (l == h):
        return 0
    if (l == h - 1):
        return 0 if(str[l] == str[h]) else 1
 
    # Check if the first and last characters
    # are same. On the basis of the comparison
    # result, decide which subrpoblem(s) to call
     
    if(str[l] == str[h]):
        return findMinInsertions(str,
                                 l + 1, h - 1)
    else:
        return (min(findMinInsertions(str,
                                      l, h - 1),
                    findMinInsertions(str,
                                      l + 1, h)) + 1)
 
# Driver Code
if __name__ == "__main__":
     
    str = "geeks"
    print(findMinInsertions(str, 0, len(str) - 1))
 
# This code is contributed by ita_c

Producción: 

3

Solución basada en programación dinámica 
Si observamos cuidadosamente el enfoque anterior, podemos encontrar que presenta subproblemas superpuestos . 
Supongamos que queremos encontrar el número mínimo de inserciones en la string «abcde»:  

                      abcde
            /       |      
           /        |        
           bcde         abcd       bcd  <- case 3 is discarded as str[l] != str[h]
       /   |          /   |   
      /    |         /    |    
     cde   bcd  cd   bcd abc bc
   / |   / |  /| / | 
de cd d cd bc c………………….

Las substrings en negrita muestran que la recursividad debe terminar y el árbol de recurrencia no puede originarse desde allí. La substring del mismo color indica subproblemas superpuestos .

¿Cómo reutilizar soluciones de subproblemas? La técnica de memorización se utiliza para evitar recordar subproblemas similares. Podemos crear una tabla para almacenar los resultados de los subproblemas para que puedan usarse directamente si se vuelve a encontrar el mismo subproblema.
La siguiente tabla representa los valores almacenados para la string abcde. 

a b c d e
----------
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 
0 0 0 1 2 
0 0 0 0 1 
0 0 0 0 0

¿Cómo llenar la mesa?  
La tabla debe llenarse en forma diagonal. Para la string abcde, 0….4, se debe ordenar lo siguiente en que se llena la tabla:

Gap = 1: (0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 4)

Gap = 2: (0, 2) (1, 3) (2, 4)

Gap = 3: (0, 3) (1, 4)

Gap = 4: (0, 4)

A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior: 

# A Dynamic Programming based program to
# find minimum number insertions needed
# to make a string palindrome
 
# A utility function to find minimum
# of two integers
def Min(a, b):
    return min(a, b)
 
# A DP function to find minimum number
# of insertions
def findMinInsertionsDP(str1, n):
 
    # Create a table of size n*n. table[i][j]
    # will store minimum number of insertions
    # needed to convert str1[i..j] to a
    # palindrome.
    table = [[0 for i in range(n)]
                for i in range(n)]
    l, h, gap = 0, 0, 0
 
    # Fill the table
    for gap in range(1, n):
        l = 0
        for h in range(gap, n):
            if str1[l] == str1[h]:
                table[l][h] = table[l + 1][h - 1]
            else:
                table[l][h] = (Min(table[l][h - 1],
                                   table[l + 1][h]) + 1)
            l += 1
 
    # Return minimum number of insertions
    # for str1[0..n-1]
    return table[0][n - 1];
 
# Driver Code
str1 = "geeks"
print(findMinInsertionsDP(str1, len(str1)))
 
# This code is contributed by Mohit kumar 29

Producción: 

3

Complejidad temporal: O(N^2) 
Espacio auxiliar: O(N^2)

Otra solución de programación dinámica (variación del problema de la subsecuencia común más larga) 
El problema de encontrar inserciones mínimas también se puede resolver utilizando el problema de la subsecuencia común más larga (LCS) . Si averiguamos el LCS de string y su reverso, sabemos cuántos caracteres como máximo pueden formar un palíndromo. Necesitamos insertar los caracteres restantes. Los siguientes son los pasos. 

1. Encuentre la longitud de LCS de la string de entrada y su reverso. Sea la longitud ‘l’.
2. El número mínimo de inserciones necesarias es la longitud de la string de entrada menos ‘l’.

A continuación se muestra la implementación del enfoque anterior:  

# An LCS based Python3 program to find minimum
# number insertions needed to make a string
# palindrome
 
""" Returns length of LCS for X[0..m-1],
Y[0..n-1]. See http://goo.gl/bHQVP for
details of this function """
def lcs(X, Y, m, n) :
 
    L = [[0 for i in range(n + 1)] for j in range(m + 1)]
 
    """ Following steps build L[m + 1, n + 1] in
    bottom up fashion. Note that L[i, j]
    contains length of LCS of X[0..i - 1]
    and Y[0..j - 1] """
    for i in range(m + 1) :    
        for j in range(n + 1) :      
            if (i == 0 or j == 0) :
                L[i][j] = 0
 
            elif (X[i - 1] == Y[j - 1]) :
                L[i][j] = L[i - 1][j - 1] + 1
            else :
                L[i][j] = max(L[i - 1][j], L[i][j - 1])
 
    """ L[m,n] contains length of LCS for
    X[0..n-1] and Y[0..m-1] """
    return L[m][n]
     
# LCS based function to find minimum number
# of insertions
def findMinInsertionsLCS(Str, n) :
 
    # Using charArray to reverse a String
    charArray = list(Str)
    charArray.reverse()
    revString = "".join(charArray)
     
    # The output is length of string minus
    # length of lcs of str and it reverse
    return (n - lcs(Str, revString , n, n))
 
# Driver code 
Str = "geeks"
print(findMinInsertionsLCS(Str,len(Str)))
# This code is contributed by divyehrabadiya07

Producción:  

3

Complejidad temporal: O(N^2) 
Espacio auxiliar : O(N^2) 

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