Definición: – Una secuencia de números se llama progresión aritmética si la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 10 es un AP porque la diferencia entre dos términos consecutivos en la serie (diferencia común) es igual 4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = 2.
Fórmulas importantes: –
Diferencia común (d) = Diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera.
enésimo término (T n ) = a + (n − 1) × d
Suma de n términos = (n/2)[2a + (n − 1) × d]
Suma de AP cuando se da el último término del mismo AP = (n/2) (primer término + último término)
Aprendamos estos conceptos con la ayuda de algunas preguntas.
Pregunta 1: Encuentra la diferencia común de las series 12, 27, 42, 57, 72……..
Solución:
Dado:
La serie dada es 12, 27, 42, 57, 72……..
Fórmula utilizada:
Diferencia común (d) = Diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera.
Cálculo:
Entonces, d = 27 – 12 = 42 – 27 = 57 – 42 = 72 – 57 = 15
La diferencia común requerida es 15.
Pregunta 2: Encuentra el término 12 de la serie 8, 12, 16, 20……..
Solución:
Dado:
La serie dada es 8, 12, 16, 20……..
Fórmula utilizada:
enésimo término (Tn) = a + (n − 1) × d
Cálculo:
Aquí, a = 8
re = 12 – 8 = 4
Y, n = 12
Sabemos que, enésimo término (T n ) = a + (n − 1) × d
Entonces, T 12 = 8 + (12 – 1)3 = 8 + 33 = 41
∴ El valor requerido es 41.
Pregunta 3: Encuentra el número de términos en la serie 15, 30, 45, 60, …….., 480.
Solución:
Dado:
Disponemos de las series 15, 30, 45, 60, …….., 480.
Fórmula utilizada:
n = {(último término – primer término)/d} + 1
Donde d = diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera de la serie.
Dado:
re = 30 – 15 = 15
De acuerdo con la fórmula, tenemos
n = {(480 – 15)/15} + 1 = 31 + 1 = 32
∴ El número requerido de términos es 32.
Pregunta 4: Encuentra los términos 15 de la serie 122, 133, 144,……..
Solución:
Dado:
La serie dada es 122, 133, 144,……..
Fórmula utilizada:
Tn = a + (n – 1)d
Donde, n = número de término
a = primer término
d = diferencia entre dos términos consecutivos.
Cálculo:
En la serie dada, d = 133 – 122 = 11
un = 122
De acuerdo con la fórmula, tenemos
T15 = 122 + (15 – 1) × 11 = 122 + 14 × 11 = 122 + 154 = 276
∴ El número requerido de términos es 276.
Pregunta 5: Encuentra la suma de las series 14, 50, 86, 122, 158, 194, 230, 266, 302.
Solución:
Dado:
La serie dada es 14, 50, 86, 122, 18, 194, 230, 266, 302.
Fórmula utilizada:
Sn = n/2(primer término + último término)
Donde, n = número de términos
Cálculo:
Tenemos, n = 9
Primer término = 14, último término = 302
De acuerdo con la fórmula, tenemos
Suma de la serie = (9/2)(14 + 302) = (9/2) × 316 = 1422
∴ La suma de la serie es 1422.
Pregunta 6: Si la suma de n términos de un AP es 12000 y el primer y el último término son 75 y 125, encuentra el valor de n
Solución:
Dado:
La suma de los AP es 12000
Primer término = 75
Último término = 125
Fórmula utilizada:
Suma de n términos = (n/2)(primer término + último término?
Cálculo:
De acuerdo con la fórmula, tenemos
12000 = (n/2)(75 + 125)
Entonces, 100n = 12000
Por lo tanto, n = 120
∴ El valor requerido es 120.
Pregunta 7: Encuentra la suma de las series 20, 38, 56, 74…….. hasta 20 términos
Dado:
La serie dada es de 20, 38, 56, 74…….. hasta 20 términos.
Fórmula utilizada:
Sn = (n/2){2a + (n – 1)d}
Donde, n = número de términos
a = primer término
d = diferencia entre dos términos
Cálculo:
En la serie dada, a = 20
d = 38 – 20 = 18
norte = 20
Entonces, de acuerdo con la fórmula, tenemos
Suma de la serie = (20/2){(2 × 20 + (20 – 1) × 18} = 10(40 + 342) = 3820
∴ La suma de la serie es 3820.
Pregunta: 8 Encuentra la suma de la serie -5, -10, -15, -20, …………. , -855
Solución:
Dado:
La serie dada es -5, -10, -15, -20, …………. , -855
Aquí a = -5
Último término = -855
Aquí d = -10 + 5 = -5
Cálculo:
Sea n el número de términos de la serie
Entonces, último término = -5 + (n – 1)(-5)
Entonces, -855 = -5 – (n – 1)5
Entonces, n = 171
Sabemos que suma de la serie = (n/2)(primer término + último término) = (171/2)(-5 – 855) = 171 × -430 = -73530
∴ El valor requerido es -73530.
Pregunta: 9 Encuentra la suma de los primeros 1000 números impares.
Solución:
Dado:
La serie requerida es 1, 3, 5, 7………….
Fórmula utilizada:
Sn = (n/2){2a + (n – 1)d}
Donde, n = número de términos
a = primer término
d = diferencia entre dos términos consecutivos.
Cálculo:
Aquí, a = 1
re = 3 – 1 = 2
Y, n = 1000
Entonces, suma de la serie = (1000/2){2 + (1000 – 1)2} = 500 × 2000 = 10,00,000.
∴ El valor requerido es 1000000.
Pregunta: 10 Encuentra la suma de los primeros 30 múltiplos de 5.
Solución:
Fórmula utilizada:
Sn = (n/2)[2a + (n − 1) × d]
Cálculo:
La serie requerida es 5, 10, 15, 20……..
Aquí, a = 5
re = 5
Entonces, Sn = (n/2)[2a + (n − 1) × d]
= (30/2) (10 + 29 × 5) = 15 × 155 = 2325
∴ El valor requerido es 2325.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por kmrpratik3 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA