Progresiones (AP, GP, HP)

Las progresiones (o secuencias y series) son números dispuestos en un orden particular de modo que forman un orden predecible. Por orden predecible, queremos decir que dados algunos números, podemos encontrar los siguientes números en la serie.

Progresión Aritmética (AP)

Una secuencia de números se llama progresión aritmética si la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. En términos simples, significa que el siguiente número de la serie se calcula sumando un número fijo al número anterior de la serie. Este número fijo se llama diferencia común.
Por ejemplo, 2,4,6,8,10 es un AP porque la diferencia entre dos términos consecutivos en la serie (diferencia común) es la misma (4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = 2) .

Si ‘a’ es el primer término y ‘d’ es la diferencia común,
• n-ésimo término de un AP = a + (n-1) d
• Media aritmética = Suma de todos los términos en el AP / Número de términos en el AP
• Suma de ‘n’ términos de un PA = 0,5 n (primer término + último término) = 0,5 n [ 2a + (n-1) d ]

Progresión Geométrica (GP)

Una secuencia de números se llama progresión geométrica si la razón de dos términos consecutivos es siempre la misma. En términos simples, significa que el siguiente número de la serie se calcula multiplicando un número fijo por el número anterior de la serie. Este número fijo se llama razón común.
Por ejemplo, 2,4,8,16 es un GP porque la proporción de dos términos consecutivos en la serie (diferencia común) es la misma (4/2 = 8/4 = 16/8 = 2).

Si ‘a’ es el primer término y ‘r’ es la razón común,
• n-ésimo término de un GP = ar ^n-1
• Media geométrica = raíz enésima del producto de n términos en el GP
• Suma de ‘n’ términos de un GP (r < 1) = [a (1 – r ⁿ )] / [1 – r]
• Suma de ‘n’ términos de un GP (r > 1) = [a (r ⁿ – 1)] / [r – 1]
• Suma de términos infinitos de un GP (r < 1) = (a) / (1 – r)

Progresión armónica (HP)

Una secuencia de números se llama progresión armónica si el recíproco de los términos está en AP. En términos simples, a,b,c,d,e,f están en HP si 1/a, 1/b, 1/c, 1/d, 1/e, 1/f están en AP.

Para dos términos ‘a’ y ‘b’,
• Media armónica = (2 ab) / (a ​​+ b)

Para dos números, si A, G y H son respectivamente las medias aritmética, geométrica y armónica, entonces

• UN ≥ G ≥ H
• AH = G ² , es decir, A, G, H están en GP

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra el enésimo término para AP: 11, 17, 23, 29, …
Solución: Aquí, a = 11, d = 17 – 11 = 23 – 17 = 29 – 23 = 6
Sabemos que el enésimo término de un AP es un + (n – 1) d
=> enésimo término para el dado AP = 11 + (n – 1) 6
=> enésimo término para el dado AP = 5 + 6 n
Podemos verificar la respuesta poniendo valores de ‘ norte’.
=> n = 1 -> Primer término = 5 + 6 = 11
=> n = 2 -> Segundo término = 5 + 12 = 17
=> n = 3 -> Tercer término = 5 + 18 = 23
y así sucesivamente…
 
Pregunta 2: Encuentre la suma de AP en la pregunta anterior hasta los primeros 10 términos.
Solución: De la pregunta anterior,
=> n-ésimo término para el AP dado = 5 + 6 n
=> Primer término = 5 + 6 = 11
=> Décimo término = 5 + 60 = 65
=> Suma de 10 términos del AP = 0,5 n (primer término + último término) = 0,5 x 10 (11 + 65)
=> Suma de 10 términos del AP = 5 x 76 = 380
 
Pregunta 3: Para los elementos 4 y 6, verifique que A ≥ G ≥ H.
Solución: A = Media aritmética = (4 + 6) / 2 = 5
G = Media geométrica = = 4.8989
H = Media armónica = ( 2 x 4 x 6) / (4 + 6) = 48 / 10 = 4.8
Por lo tanto, A ≥ G ≥ H
 
Pregunta 4 : Encuentra la suma de las series 32, 16, 8, 4, … hasta el infinito.
Solución: Primer término, a = 32
Razón común, r = 16 / 32 = 8 / 16 = 4 / 8 = 1 / 2 = 0.5
Sabemos que para un GP infinito, Suma de términos = a / (1 – r)
=> Suma de términos del GP = 32 / (1 – 0.5) = 32 / 0.5 = 64
 
Pregunta 5 : La suma de tres números en un GP es 26 y su producto es 216. Encuentra los números.
Solución: Sean los números a/r, a, ar.
=> (a/r) + a + ar = 26
=> a (1 + r + r ² ) / r = 26
Además, se da que producto = 216
=> (a/r) x (a) x ( ar) = 216
=> a ³ = 216
=> a = 6
=> 6 (1 + r + r ² ) / r = 26
=> (1 + r + r ² ) / r = 26 / 6 = 13 / 3
=> 3 + 3 r + 3 r ² = 13 r
=> 3 r ² – 10 r + 3 = 0
=> (r – 3) (r – (1 / 3) ) = 0
=> r = 3 o r = 1 / 3
Por lo tanto, los números requeridos son 2, 6 y 18.

Problemas en Progresiones (AP, GP, HP) | Conjunto-2

Este artículo ha sido contribuido por Nishant Arora
 
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