Promedio – Part 5

Promediar un número que expresa el valor central o típico de un conjunto de datos, en particular la moda, la mediana o (más comúnmente) la media, que se calcula dividiendo la suma de los valores del conjunto por su número. 

La fórmula básica para el promedio de n números x ₁ ,x ₂ ,……x _n es 
 

          A = (x1 + x2 ........xn)/ n

Puntos importantes: 
 

1. Sum of first n natural number = n(n + 1)/2
   Average of first n natural number = (n + 1)/2

2. Sum of square of first n natural number = n(n+1)(2n+1)/6
   Avg. of square of first n natural number = (n+1)(2n+1)/6

3. Sum of cube of first n natural number = [n(n+1)/2]2
   Avg. of cube of first n natural number =  (n(n+1)2

4. Sum of first n natural odd number = n2
   Avg. of first n natural odd number = n

5. Sum of first n natural even number = n(n+1)
   Avg. of first n natural even number = n+1

Ejemplos de problemas 

Pregunta: 1 Encuentre que el promedio del cuadrado de los primeros 16 números naturales es: 
Solución: Sabemos que la 
Suma del cuadrado de los primeros n números naturales = n (n + 1) (2n + 1) / 6 
Promedio. del cuadrado del primer n número natural = (n+1)(2n+1)/6 
Entonces, Promedio. del cuadrado del primer 16 número natural = (16+1)(2×16+1)/6 
= 17 x 33 /6 
= 187/2 

Pregunta 2: El promedio de 9 observaciones es 87. Si el promedio de las primeras cinco observaciones es 79 y el promedio de las siguientes tres es 92. Encuentra la novena observación. 
Solución: Promedio de 9 observaciones = 87 
Entonces, Suma de 9 observaciones = 87 x 9 = 783 
Promedio de las primeras 5 observaciones = 79 
La suma de las primeras 5 observaciones = 79 x 5 = 395 
La suma de 6th, 7th y 8th = 92 x 3 = 276 
9º número = 783 – 395 – 276 = 112 

Pregunta 3: Hace cinco años, el promedio de edad del esposo y la esposa era de 25 años, hoy la edad promedio del esposo, la esposa y el niño es de 21 años. ¿Qué edad tiene el niño? 
Solución: H + W = 25 
Suma de las edades de ambos 5 años antes = 25×2 = 50 
Hoy, la suma de sus edades es = 50 + 5 + 5 = 60 
Promedio de hoy. de H + W + C = 21 
Suma de las edades de H , W y C = 21×3 = 63 
Edad del niño = 63 – 60 = 3 años 

Pregunta 4: El promedio de madre, padre e hijo era de 44 años al momento del matrimonio del hijo. Después de 1 año nació un bebé y después de 5 años de matrimonio, la edad promedio de la familia se convierte en 37 años. Encuentra la edad de la novia en el momento del matrimonio. 
Solución: Suma de edades de F + M + S = 44 x 3 = 132 años 
Suma de edades de M + F + S + D + C = 37 x 5 = 185 años 
Suma de edades de (M + F + S) = 132 + 3×5 = 147 años 
Suma de las edades de D + C después de 5 años = 185 – 147 = 38 años 
D + C = 38 
El niño nació después de 1 año de matrimonio por lo que la edad actual del niño es 4 años 
entonces D + 4 = 38 
D = 34 años en la actualidad 
Por lo tanto, en el momento del matrimonio la edad de la novia era = 34 – 5 = 29 años 

Pregunta 5: La temperatura promedio. de lunes, martes, miércoles y jueves son 31 ^o , y la temp. media. de martes, miércoles, jueves y viernes son 29.5 ^o . Si la temperatura del viernes es 4/5 veces la del lunes. Encuentre la temperatura del lunes. 
Solución: encuentre la suma 
Suma de temp. de M + T + W + Th = 31 x 4 = 124……….(1) 
Suma de temp. de T + W + Th + F = 29.5 x 4 = 118………(2) 
Resta (2) para (1) 
M – F = 6 
Dado F = (4/5)M 
M/F = 5/4 
entonces 5x – 4x = 6x = 
6 
Temp. del lunes = 5 x 6 = 30 ^o 

Pregunta 6: Hay 42 estudiantes en un albergue. Si el número de estudiantes aumentó en 14. El gasto de desorden aumentó en Rs 28 por día. Mientras que el gasto promedio per cápita disminuyó en Rs 2. Encuentre el gasto original. 
Solución: Estudiantes totales después del incremento = 42 + 14 = 56 
Supongamos que el gasto de los estudiantes es A Rs/día. 
Aumento del gasto 28 rupias/día. 
Cuenta a la pregunta 
42A + 28 = 56(A – 2) 
42A + 28 = 56A – 112 
14A = 140 
A = 10 
Por lo tanto, el gasto original del estudiante fue de 10 rupias/día. 

Pregunta 7: El promedio de 200 números es 96 pero se encontró que 2 números 16 y 43 se calcularon erróneamente como 61 y 34. Encuentra su promedio correcto también se encontró que el número total es solo 190. 
Solución: Promedio de 200 números = 96 
Suma de 200 números = 96 x 200 = 19200 
Dos números calculados erróneamente como 61 y 34 en lugar de 16 y 43. 
Entonces, 61 + 34 = 95 
16 + 43 = 59 
Dif = 95 – 59 = 36 
Entonces, la suma real de 200 números = 19200 – 36 = 19164 
los números totales también son 190 en lugar de 200. 
Entonces, promedio correcto = 19164/190 = 100.86 

Pregunta 8: La edad promedio de los niños en la escuela es de 13 años y de las niñas es de 12 años. Si el número total de niños es 240, encuentre el número de niñas si el promedio de la escuela es de 12 años y 8 meses. 
Solución: Edad promedio de 240 niños = 13 años 
Suma de la edad de 240 niños = 240 x 13 
Sea a el número de niñas en la escuela. 
de Suma de la edad de las niñas = 12a 
Número total de niños y niñas en la escuela = (240 + a) 
Suma total de la edad de los niños y niñas = (240 + a)12 año 8 mes 
Cta. a la pregunta 
240x13y + 12a = (240 + a)12y8m 
cambio años en mes 
240x13x12 + (12×12)a = (240 + a)(12×12 + 8) 
37440 + 144a = 36480 + 152a 
8a = 960 
a = 120 
Por lo tanto, el número de niñas en la escuela es 120 . 
Solución alternativa: 
 

Pregunta 9: Un bateador anotó 120 carreras en su entrada número 16 debido a que su promedio aumentó en 5 carreras. Encuentra su promedio actual. 
Solución: Sea el promedio de 15 entradas A. 
Acc. a la pregunta 
15A + 120 = 16(A + 5) 
=>15A + 120 = 16A + 80 
=>A = 40 
Por lo tanto, el promedio actual del bateador es (40 + 5) = 45 

Pregunta 10: Hay tres números naturales si a la media de dos números cualesquiera se le suma el tercero 48,40 y se obtiene 36. Encuentra todos los números naturales. 
Solución: Sean a, b y c los números. 
Dado 
(a+b)/2 + c = 48 
=> a + b + 2c = 96 ………(1) 
(b+c)/2 + a = 40 
=> 2a + b + c = 80 ……… .(2) 
(c+a)/2 + b = 36 
=> a + 2b + c = 72 ……….(3) 
Suma (1)(2)(3), obtenemos 
4(a + b + c) = 248 
a + b + c = 62 
Ponga el valor de (a+b+c) en (1)(2) y (3) para obtener los valores individuales 
1)(a+b+c) + c = 96 
62 + c = 96 
c = 34 
2)a + (a+b+c) = 80 
a + 62 = 80 
a = 18 
3) b + (a+b+c) = 72 
segundo + 62 = 72 
segundo = 10 

Pregunta 11: Un ciclista viaja a una velocidad de 60 km/h de A a B y regresa con una velocidad de 40 km/h. ¿Cuál es la velocidad media del recorrido total? 
Solución: Sea a la distancia entre A y B. 
Distancia total recorrida en el viaje = 2a 
Tiempo para viajar de A a B = Distancia/velocidad = a/60 
Tiempo para viajar de B a A = Distancia/velocidad = a/40 
Total tiempo de viaje = a/60 + a/40 
Velocidad media = Distancia total/tiempo total 
=2a / (a/60 + a/40) 
=240 x 2a /10a 
= 240/5 
= 48 
Por lo tanto, la velocidad media es 48 km /  h

 Pregunta 12: La edad promedio de 15 niños aumenta en 4 años cuando dos nuevas niñas reemplazan a dos niñas de 16 años y 18 años. ¿Encuentra la edad promedio de las dos chicas nuevas?

Solución: El aumento de edad total es 15×4 años = 60 años

La edad total de las nuevas chicas añadidas es 16+18+60= 94 años

La edad promedio de dos nuevas niñas añadidas es 94/2= 47 años