Una transformada z es importante para analizar señales y sistemas discretos. En este artículo, veremos las propiedades de z-Transforms. Estas propiedades son útiles para calcular transformadas de señales discretas complejas en el dominio del tiempo.
1. Linealidad: Si tenemos dos secuencias x 1 [n] y x 2 [n], y sus z-transformadas individuales como X 1 (z) y X 2 (z), entonces la propiedad de linealidad nos permite escribir:
Esto se prueba fácilmente. Primero considere
Entonces, de la definición, vemos:
2. Desplazamiento en el tiempo: si tenemos una secuencia desplazada en el tiempo como x[nk], entonces su transformación z viene dada por Z{ x[nk]} = z^{-k}X(z).
Tomemos n – k = m, es decir, n = k + m y y[n] = x[nk]. Ahora aquí asumimos que x[n] comienza desde n=0, por lo tanto, x[nk] comienza desde n=k, o nk=0, o desde m=0.
3. Inversión de tiempo: la propiedad de inversión de tiempo establece que
Vamos a demostrar formalmente esta afirmación tomando y[n]=x[-n].
Ahora tomemos -n=m. Después
4. Escalado en el dominio z: cuando multiplicamos la secuencia de señales x[n] en el dominio del tiempo con un factor exponencial a n , la transformada z equivalente de la nueva señal se escala por un factor de a.
Básicamente, .
La prueba es elemental y se muestra a continuación.
5. Diferenciación en el dominio z: Sabemos:
Derivando con respecto a z, obtenemos
Por lo tanto, podemos deducir que para k diferenciaciones, obtenemos
6. Convolución: La convolución de dos secuencias x[n] y h[n] se define como
Ahora las transformadas z de x[n] y h[n] son X(z) y H(z) respectivamente. Usando esta notación, tenemos
Por lo tanto, la convolución en el dominio del tiempo es una multiplicación en el dominio z.
7. Teorema del valor inicial: El teorema del valor inicial nos brinda una herramienta para calcular el valor inicial de la secuencia x[n], es decir, x[0] en el dominio z tomando un límite del valor de X(z). Establece que la siguiente equivalencia es factible.
La demostración, como antes, se basa en la definición de X(z).
Claramente, si queremos obtener x[0], podemos hacer que z se acerque al infinito para que todos los demás términos desaparezcan. Lo que queda es precisamente el enunciado del teorema presentado antes.
8. Teorema del valor final: El teorema del valor final nos permite conocer el valor final de x[n], o el valor infinito de x[n], usando los límites apropiados de X(z).
Se afirma que
Si tomamos la transformada z de x[n]-x[n-1], entonces obtenemos
Ahora tomando el límite z⇢1, vemos que entramos en el lado derecho, lo que se simplifica a x[\infty] básicamente. Por lo tanto, el teorema está probado.
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Artículo escrito por srimandutta y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA