Propiedades elementales de los grupos

Sea el conjunto G sobre el que se define una operación binaria o a partir de un grupo (G , o). G es un grupo si cumple las siguientes 3 propiedades:

• Asociatividad
• Identidad
• Inverso

Propiedades de los grupos:

Propiedad-1 : 
Si a , b, c ∈ G entonces, es aob = aoc ⇒ b = c                 

Prueba: –

Given a o b = a o c, for every a, b, c ∈  G  
Operating on the left with a-1, where a-1 ∈ G we have 
      a-1 o (a o b) = a-1 o (a o c) 
or  (a-1 o a) o b = (a-1 o a) o c         [using associative property]
or   e o b = e o c,                       [using inverse property]
or      b = c,                            [using identity property]

Tenga en cuenta que aob también se escribe como ab.

 Esto se conoce como la ley de cancelación izquierda. 

Propiedad-2: 
Para todo a ∈ G , eoa = a = aoe, donde e es el elemento identidad. es decir, el elemento de identidad de la izquierda es también el elemento de identidad de la derecha. 

Prueba: – 

If a-1 be the left inverse of a, then 
              a-1 o (a o e) = (a-1 o a) o e           [using associative property]
 or         a-1 o (a o e) = e o e                     [using inverse property]
                                 = e                  [using identity property]
 or         a-1 o (a o e) = a-1 o a                   [using inverse property]
 i.e.        a-1 o (a o e) = a-1 o a  

Por lo tanto, aoe = a por la propiedad-1, es decir, la ley de cancelación por la izquierda. por lo tanto, encontramos que e es también el elemento de identidad correcto y, por lo tanto, se llama solo elemento de identidad. 

Propiedad-3: 
Para todo a ∈ G , a ^-1 oa = e = aoa ^-1 ie el inverso izquierdo de un elemento es también su inverso derecho.

Prueba: –  

        a-1 o (a o a-1) = (a-1 o a) o a-1    [using identity property]
      = e o a-1                                  [using inverse property]
      = a-1 o e                              [by property 2]
 i.e. a-1 o (a o a-1)= a-1 o e
Hence, a o a-1 = e, by left cancellation law. 

Por lo tanto, encontramos que el inverso izquierdo a ^-1 del elemento a es también su inverso derecho y, por lo tanto, a ^-1 se llama solo el inverso de a.

Propiedad-4: 
Si a , b, c ∈ G entonces, es boa = coa ⇒ b = c                

Prueba: – 

Given a o b = a o c, for every a, b, c ∈  G  
Operating on the left with a-1, where a-1 ∈ G we have
       (b o a) o a-1 =  (c o a) o a-1
or      b o (a-1 o a)  = c o (a-1 o a)           [using associative property]
or      b o e = c o e,                           [using inverse property]
or      b = c,                                   [using identity property]

A esto se le conoce como derecho de cancelación del derecho. 

Propiedad-5: 
Para todo a , b ∈ G tenemos (aob) ^-1 = b ^-1 oa ^-1 ie El inverso del producto (o compuesto) de dos elementos a, b del grupo G es el producto (o compuesto) de los inversos de los dos elementos tomados en orden inverso. 

Prueba: –  

Let a-1 and b-1 be the inverses of a and b. 
Now,(a o b) o (b-1 o a-1) = a o (b o b-1)  o a-1        [using  associative property]
= a o e o a-1                                  [using inverse property]
= a o a-1                                       [using identity property]
= e                                                [using inverse property]
(a o b) o (b-1 o a-1) = e
Similarly, (b-1 o a-1) o ( a o b)= e

Por lo tanto, por la definición de inversa b ^-1 oa ^-1 es la inversa de ao bie (aob) ^-1 =b ^-1 oa ^-1 

Esto se conoce como la regla de inversión.