¿Cuál de las siguientes afirmaciones es/son VERDADERAS para un grupo G?
(A)
Si para todo x, y ∈ G, (xy) 2 = x 2 y 2 entonces G es conmutativa.
(B)
Si para todo x ∈ G, x 2 = 1, entonces G es conmutativa. Aquí, 1 es el elemento de identidad de G.
(C)
Si el orden de G es 2, entonces G es conmutativo
(D)
Si G es conmutativo, entonces un subgrupo de G no necesita ser conmutativo
Respuesta: (A) (B) (C)
Explicación:
A. Dado que, (xy) 2 = x 2 y 2
xyxy =xxyy
yx = xy (∵ Aplicando leyes de cancelación en grupo)
∴ ∀x, y ∈ G, yx =xy
∀x ∈ G, x2 = 1
⇒ x = x-1 (∵ x 2 = 1, xx =1, x -1 xx =x -1 , ex =x -1 , x=x -1 )
En un grupo, si cada elemento tiene su propio inverso, entonces el grupo es conmutativo.
C. Todo grupo de orden primo es conmutativo, por lo que si O(G) =2, el grupo ‘G’ es conmutativo.
D. Si G es conmutativo, entonces un subgrupo de ‘G’ también es conmutativo.
Sea H un subgrupo del grupo conmutativo ‘G’
∀a, b ∈ H, tenemos a, b, ∈ G y ab = ba(∵ ‘G’ es conmutativo)
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