Puntos de inflexión

Considere las dos funciones dadas en la figura a continuación, mientras que ambas funciones se ven similares. Lo que los diferencia es su doblez, fíjate que uno de ellos mira abriéndose hacia arriba y el otro mira cerrándose hacia abajo. Esta tendencia se llama concavidad, la primera figura es cóncava hacia arriba y la segunda es cóncava hacia abajo. Buscar estas tendencias nos ayuda a generar las curvas para las funciones. 

Concavidad 

Se dice que una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si la gráfica de esa función se encuentra por encima de cualquier tangente que se dibuje en cualquier punto del intervalo. De manera similar, se dice que la función es cóncava hacia abajo si la gráfica de la función se encuentra debajo de cualquier tangente que se dibuje en cualquier punto del intervalo. Intuitivamente, la concavidad está relacionada con la tasa de aumento. Se sabe que las derivadas nos dan la tasa de cambio, lo que significa que nos dicen si la función es creciente o decreciente. La concavidad está relacionada con la tasa de cambio de la tasa de cambio, es decir, debe estar relacionada con las derivadas dobles. 

En la figura que se muestra arriba, la primera función aumenta a un ritmo creciente mientras que la segunda función aumenta a un ritmo decreciente. También es evidente por el hecho de que en la primera función, las tangentes se vuelven cada vez más empinadas y viceversa para la segunda función. La siguiente figura muestra un escenario similar pero con funciones decrecientes. 

Para resumir estas observaciones, la siguiente figura muestra una comparación consolidada de todos estos casos diferentes. 

Para formalizar las observaciones anteriores, 

Prueba de concavidad:

Considere una función f(x) que es diferenciable y tiene derivadas y derivadas dobles como f’ y f” en el intervalo I. 

1. f(x) se considera cóncava hacia arriba si f”(x) > 0 para todos los puntos del intervalo I.
2. (x) se considera cóncava hacia abajo si f”(x) < 0 para todos los puntos del intervalo I.

Puntos de inflexión

A veces, en las trayectorias de funciones, la función va de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa. Ahora, cuando la función pasa por tales cambios, hay un cierto punto que funciona como un límite. Esto significa que si antes de este punto la función era cóncava hacia arriba, después de este punto la función será opuesta. Este punto se llama punto de inflexión. La figura muestra este punto. 

Hablando geométricamente, la tangente trazada en este punto no está ni encima ni debajo de la gráfica. La tangente corta la gráfica de la función en este punto. 

El punto de inflexión es el punto donde la función pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo y viceversa. Digamos que f(x) es la función que tiene un punto x = c como punto de inflexión. Después, 

f”(c) = 0 o f”(c) no existe. 

Note que cuando f”(c) = 0, significa que básicamente x = c es un punto crítico de f'(x) = 0. Entonces, en este escenario, son posibles tres casos: 

1. Caso (i): El signo de f”(x) cambió de positivo a negativo en el punto de inflexión. Esto significa que la función pasó de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo.
2. Caso (ii): El signo de f”(x) cambió de negativo a positivo en el punto de inflexión. Esto significa que la función pasó de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba.
3. Caso (iii): El signo no cambia, lo que significa que la doble derivada ya es cero a lo largo de la función. En este caso, el punto de inflexión no estará ahí.

Estos tres casos muestran que no es necesario que si la doble derivada es cero en un punto, sea un punto de inflexión. 

Prueba de punto de inflexión

Considere una función f(x), para determinar los puntos de inflexión. 

1. Encuentre f”(x).
2. Resuelve la ecuación f”(x) = 0 y encuentra todos los puntos críticos de f'(x).
3. Usa la recta numérica para ver en qué puntos la doble derivada cambia de signo.

Veamos algunos ejemplos de problemas con estos conceptos. 

Problemas de muestra

Pregunta 1: Averigüe la concavidad de la función dada entre el intervalo [0,1]. 

f(x) = x2 ⁺ 4

Solución: 

Para verificar la concavidad, veamos la segunda derivada de la función. 

f(x) = x2 ⁺ 4

Diferenciando wrt x, 

f'(x) = 2x 

Diferenciando wrt x de nuevo, 

f”(x) = 2 > 0 

Esto es mayor que cero, la función es cóncava hacia arriba en el intervalo dado. 

Pregunta 2: Averigüe la concavidad de la función dada entre el intervalo [2,4]. 

f(x) = x3 ⁺ 4

Solución: 

Para verificar la concavidad, veamos la segunda derivada de la función. 

f(x) = ^x3

Diferenciando wrt x, 

f'(x) = 3x ² 

Diferenciando wrt x de nuevo, 

f”(x) = 6x > 0

Esto es mayor que cero, la función es cóncava hacia arriba en el intervalo dado. 

Pregunta 3: Encuentra el punto de inflexión para la función dada. 

f(x) = ^x3

Solución: 

Para verificar el punto de inflexión, veamos la segunda derivada de la función. 

f(x) = x3 ⁺ 4

Diferenciando wrt x, 

f'(x) = 3x ² 

Diferenciando wrt x de nuevo, 

f”(x) = 6x = 0 

Resolviendo f”(x) = 0, se muestra que x = 0 es el punto crítico de f'(x). 

Ahora comprobemos el valor de f”(x) antes y después del punto crítico. 

para x < 0, f”(x) < 0.  

para x > 0, f”(x) > 0. 

Así, la función cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Así, x = 0 es el punto de inflexión. 

Pregunta 4: Encuentra el punto de inflexión para la función dada. 

f(x) = x3 ⁺ x2 + ³

Solución: 

Para verificar el punto de inflexión, veamos la segunda derivada de la función. 

f(x) = x3 ⁺ x2 + ³

Diferenciando wrt x, 

f'(x) = 3x ² + 2x 

Diferenciando wrt x de nuevo, 

f”(x) = 6x + 2 = 0 

Resolviendo f”(x) = 0, se muestra que x =   es el punto crítico de f'(x). 

Ahora comprobemos el valor de f”(x) antes y después del punto crítico. 

para x < -1, f”(x) < 0.  

para x > 0, f”(x) > 0. 

Así, la función cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Así, x =   es el punto de inflexión. 

Pregunta 5: Encuentra el punto de inflexión para la función dada. 

f(x) = x ⁴ – 2x ² + 3x

Solución: 

Para verificar el punto de inflexión, veamos la segunda derivada de la función. 

f(x) = x ⁴ – 2x ² + 3x

Diferenciando wrt x, 

f'(x) = 4x ³ – 4x + 3

Diferenciando wrt x de nuevo, 

f”(x) = 12x ² – 4x + 3= 0 

Resolviendo f”(x) = 0, se muestra que x =   es el punto crítico de f'(x). 

Ahora comprobemos el valor de f”(x) antes y después del punto crítico. 

para x < -1, f”(x) < 0.  

para x > 0, f”(x) > 0. 

Así, la función cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Así, x =   es el punto de inflexión. 

Pregunta 6: Averigüe el punto de inflexión de la función dada para el intervalo [0,1]. 

f(x) = 

Solución: 

Para verificar el punto de inflexión, veamos la segunda derivada de la función. 

f(x) = 

Diferenciando wrt x, 

f'(x) = 

⇒ f'(x) = 

Diferenciando wrt x de nuevo, 

f”(x) = 

Resolviendo f”(x) = 0 para el intervalo dado. No hay solución para esta ecuación en el intervalo dado. 

Por lo tanto, el punto de inflexión no existe en [0,1].